Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17117 / 12053
↖ ↑ ↗
← N 42.900113°
E  8.052979°		 ← 894.90 m → N 42.900113°
E  8.063965°		 →
↑
895 m
↓
↑
895 m
↓
N 42.892064°
E  8.052979°		 ← 895.02 m →
800 987 m²		 N 42.892064°
E  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522384643554688 y=0.367843627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522384643554688 × 215)
    floor (0.522384643554688 × 32768)
    floor (17117.5)     		tx = 17117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367843627929688 × 215)
    floor (0.367843627929688 × 32768)
    floor (12053.5)     		ty = 12053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17117 / 12053 ti = "15/17117/12053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17117/12053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17117 ÷ 215
    17117 ÷ 32768     		x = 0.522369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12053 ÷ 215
    12053 ÷ 32768     		y = 0.367828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522369384765625 × 2 - 1) × π
    0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367828369140625 × 2 - 1) × π
    0.26434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.830458849017853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14055099} λ = 0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830458849017853))-π/2
    2×atan(2.29437126877315)-π/2
    2×1.15977227104408-π/2
    2.31954454208817-1.57079632675     		φ = 0.74874822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74874822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.900113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17117 KachelY 12053 0.14055099 0.74874822 8.052979 42.900113
    Oben rechts KachelX + 1 17118 KachelY 12053 0.14074274 0.74874822 8.063965 42.900113
    Unten links KachelX 17117 KachelY + 1 12054 0.14055099 0.74860774 8.052979 42.892064
    Unten rechts KachelX + 1 17118 KachelY + 1 12054 0.14074274 0.74860774 8.063965 42.892064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74874822-0.74860774) × R
    0.000140479999999998 × 6371000     		dl = 894.99807999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74874822-0.74860774) × R
    0.000140479999999998 × 6371000     		dr = 894.99807999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14055099-0.14074274) × cos(0.74874822) × R
    0.000191750000000018 × 0.732541557156985 × 6371000     		do = 894.901518479177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14055099-0.14074274) × cos(0.74860774) × R
    0.000191750000000018 × 0.732637177798944 × 6371000     		du = 895.018332408503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74874822)-sin(0.74860774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732541557156985-0.732637177798944)×R²
    abs(0.14074274-0.14055099)×9.56206419583383e-05×R²
    0.000191750000000018×9.56206419583383e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.56206419583383e-05×40589641000000     		ar = 800987.416266654m²