Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17117 / 10466
↖ ↑ ↗
← N 76.555189°
W 85.973511°		 ← 142.01 m → N 76.555189°
W 85.968018°		 →
↑
142.01 m
↓
↑
142.01 m
↓
N 76.553911°
W 85.973511°		 ← 142.03 m →
20 168 m²		 N 76.553911°
W 85.968018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261192321777344 y=0.159706115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261192321777344 × 216)
    floor (0.261192321777344 × 65536)
    floor (17117.5)     		tx = 17117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159706115722656 × 216)
    floor (0.159706115722656 × 65536)
    floor (10466.5)     		ty = 10466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17117 / 10466 ti = "16/17117/10466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17117/10466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17117 ÷ 216
    17117 ÷ 65536     		x = 0.261184692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10466 ÷ 216
    10466 ÷ 65536     		y = 0.159698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.261184692382812 × 2 - 1) × π
    -0.477630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.50052083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159698486328125 × 2 - 1) × π
    0.68060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13817747065298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50052083} λ = -1.50052083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13817747065298))-π/2
    2×atan(8.4839612617249)-π/2
    2×1.45346821507195-π/2
    2.90693643014389-1.57079632675     		φ = 1.33614010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50052083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.973511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33614010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.555189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17117 KachelY 10466 -1.50052083 1.33614010 -85.973511 76.555189
    Oben rechts KachelX + 1 17118 KachelY 10466 -1.50042496 1.33614010 -85.968018 76.555189
    Unten links KachelX 17117 KachelY + 1 10467 -1.50052083 1.33611781 -85.973511 76.553911
    Unten rechts KachelX + 1 17118 KachelY + 1 10467 -1.50042496 1.33611781 -85.968018 76.553911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33614010-1.33611781) × R
    2.22899999999804e-05 × 6371000     		dl = 142.009589999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33614010-1.33611781) × R
    2.22899999999804e-05 × 6371000     		dr = 142.009589999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50052083--1.50042496) × cos(1.33614010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232508647388179 × 6371000     		do = 142.013438243939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50052083--1.50042496) × cos(1.33611781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232530326458011 × 6371000     		du = 142.026679554658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33614010)-sin(1.33611781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232508647388179-0.232530326458011)×R²
    abs(-1.50042496--1.50052083)×2.16790698323033e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16790698323033e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16790698323033e-05×40589641000000     		ar = 20168.2103367189m²