Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17115 / 49421
↖ ↑ ↗
← N 40.419769°
W132.992249°		 ← 232.53 m → N 40.419769°
W132.989502°		 →
↑
232.54 m
↓
↑
232.54 m
↓
N 40.417678°
W132.992249°		 ← 232.53 m →
54 073 m²		 N 40.417678°
W132.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130580902099609 y=0.377056121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130580902099609 × 217)
    floor (0.130580902099609 × 131072)
    floor (17115.5)     		tx = 17115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377056121826172 × 217)
    floor (0.377056121826172 × 131072)
    floor (49421.5)     		ty = 49421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17115 / 49421 ti = "17/17115/49421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17115/49421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17115 ÷ 217
    17115 ÷ 131072     		x = 0.130577087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49421 ÷ 217
    49421 ÷ 131072     		y = 0.377052307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130577087402344 × 2 - 1) × π
    -0.738845825195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.32115262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377052307128906 × 2 - 1) × π
    0.245895385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.772503137377205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32115262} λ = -2.32115262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772503137377205))-π/2
    2×atan(2.16517921729009)-π/2
    2×1.13812719269056-π/2
    2.27625438538112-1.57079632675     		φ = 0.70545806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32115262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.992249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70545806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.419769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17115 KachelY 49421 -2.32115262 0.70545806 -132.992249 40.419769
    Oben rechts KachelX + 1 17116 KachelY 49421 -2.32110468 0.70545806 -132.989502 40.419769
    Unten links KachelX 17115 KachelY + 1 49422 -2.32115262 0.70542156 -132.992249 40.417678
    Unten rechts KachelX + 1 17116 KachelY + 1 49422 -2.32110468 0.70542156 -132.989502 40.417678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70545806-0.70542156) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dl = 232.541499999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70545806-0.70542156) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dr = 232.541499999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32115262--2.32110468) × cos(0.70545806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761314633496213 × 6371000     		do = 232.525085308257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32115262--2.32110468) × cos(0.70542156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761338298954902 × 6371000     		du = 232.53231334849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70545806)-sin(0.70542156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761314633496213-0.761338298954902)×R²
    abs(-2.32110468--2.32115262)×2.36654586883711e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36654586883711e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36654586883711e-05×40589641000000     		ar = 54072.5725407338m²