Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17115 / 17361
↖ ↑ ↗
← S 10.671404°
E  8.031006°		 ← 1 200.51 m → S 10.671404°
E  8.041992°		 →
↑
1 200.49 m
↓
↑
1 200.49 m
↓
S 10.682200°
E  8.031006°		 ← 1 200.47 m →
1 441 173 m²		 S 10.682200°
E  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522323608398438 y=0.529830932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522323608398438 × 215)
    floor (0.522323608398438 × 32768)
    floor (17115.5)     		tx = 17115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529830932617188 × 215)
    floor (0.529830932617188 × 32768)
    floor (17361.5)     		ty = 17361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17115 / 17361 ti = "15/17115/17361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17115/17361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17115 ÷ 215
    17115 ÷ 32768     		x = 0.522308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17361 ÷ 215
    17361 ÷ 32768     		y = 0.529815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522308349609375 × 2 - 1) × π
    0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.05963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.187337403715179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14016749} λ = 0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187337403715179))-π/2
    2×atan(0.829163926194369)-π/2
    2×0.69227259150616-π/2
    1.38454518301232-1.57079632675     		φ = -0.18625114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18625114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.671404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17115 KachelY 17361 0.14016749 -0.18625114 8.031006 -10.671404
    Oben rechts KachelX + 1 17116 KachelY 17361 0.14035924 -0.18625114 8.041992 -10.671404
    Unten links KachelX 17115 KachelY + 1 17362 0.14016749 -0.18643957 8.031006 -10.682200
    Unten rechts KachelX + 1 17116 KachelY + 1 17362 0.14035924 -0.18643957 8.041992 -10.682200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18625114--0.18643957) × R
    0.000188429999999989 × 6371000     		dl = 1200.48752999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18625114--0.18643957) × R
    0.000188429999999989 × 6371000     		dr = 1200.48752999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14016749-0.14035924) × cos(-0.18625114) × R
    0.000191749999999991 × 0.982705338504147 × 6371000     		do = 1200.51141270114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14016749-0.14035924) × cos(-0.18643957) × R
    0.000191749999999991 × 0.982670428310837 × 6371000     		du = 1200.46876503877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18625114)-sin(-0.18643957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982705338504147-0.982670428310837)×R²
    abs(0.14035924-0.14016749)×3.49101933106999e-05×R²
    0.000191749999999991×3.49101933106999e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.49101933106999e-05×40589641000000     		ar = 1441173.38584115m²