Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17115 / 15814
↖ ↑ ↗
← N 79.461546°
W132.992249°		 ← 55.86 m → N 79.461546°
W132.989502°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.461044°
W132.992249°		 ← 55.86 m →
3 121 m²		 N 79.461044°
W132.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130580902099609 y=0.120655059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130580902099609 × 217)
    floor (0.130580902099609 × 131072)
    floor (17115.5)     		tx = 17115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120655059814453 × 217)
    floor (0.120655059814453 × 131072)
    floor (15814.5)     		ty = 15814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17115 / 15814 ti = "17/17115/15814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17115/15814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17115 ÷ 217
    17115 ÷ 131072     		x = 0.130577087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15814 ÷ 217
    15814 ÷ 131072     		y = 0.120651245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130577087402344 × 2 - 1) × π
    -0.738845825195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.32115262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120651245117188 × 2 - 1) × π
    0.758697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38351852290843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32115262} λ = -2.32115262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38351852290843))-π/2
    2×atan(10.8429871230602)-π/2
    2×1.47883096810297-π/2
    2.95766193620595-1.57079632675     		φ = 1.38686561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32115262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.992249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38686561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.461546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17115 KachelY 15814 -2.32115262 1.38686561 -132.992249 79.461546
    Oben rechts KachelX + 1 17116 KachelY 15814 -2.32110468 1.38686561 -132.989502 79.461546
    Unten links KachelX 17115 KachelY + 1 15815 -2.32115262 1.38685684 -132.992249 79.461044
    Unten rechts KachelX + 1 17116 KachelY + 1 15815 -2.32110468 1.38685684 -132.989502 79.461044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38686561-1.38685684) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38686561-1.38685684) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32115262--2.32110468) × cos(1.38686561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182895391344693 × 6371000     		do = 55.8609602440058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32115262--2.32110468) × cos(1.38685684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182904013408628 × 6371000     		du = 55.8635936442636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38686561)-sin(1.38685684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182895391344693-0.182904013408628)×R²
    abs(-2.32110468--2.32115262)×8.62206393548171e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62206393548171e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62206393548171e-06×40589641000000     		ar = 3121.23042742981m²