Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17115 / 15772
↖ ↑ ↗
← N 79.482624°
W132.992249°		 ← 55.75 m → N 79.482624°
W132.989502°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.482122°
W132.992249°		 ← 55.75 m →
3 108 m²		 N 79.482122°
W132.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130580902099609 y=0.120334625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130580902099609 × 217)
    floor (0.130580902099609 × 131072)
    floor (17115.5)     		tx = 17115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120334625244141 × 217)
    floor (0.120334625244141 × 131072)
    floor (15772.5)     		ty = 15772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17115 / 15772 ti = "17/17115/15772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17115/15772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17115 ÷ 217
    17115 ÷ 131072     		x = 0.130577087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15772 ÷ 217
    15772 ÷ 131072     		y = 0.120330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130577087402344 × 2 - 1) × π
    -0.738845825195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.32115262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120330810546875 × 2 - 1) × π
    0.75933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38553187269247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32115262} λ = -2.32115262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38553187269247))-π/2
    2×atan(10.8648398400425)-π/2
    2×1.47901490219908-π/2
    2.95802980439817-1.57079632675     		φ = 1.38723348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32115262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.992249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38723348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.482624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17115 KachelY 15772 -2.32115262 1.38723348 -132.992249 79.482624
    Oben rechts KachelX + 1 17116 KachelY 15772 -2.32110468 1.38723348 -132.989502 79.482624
    Unten links KachelX 17115 KachelY + 1 15773 -2.32115262 1.38722473 -132.992249 79.482122
    Unten rechts KachelX + 1 17116 KachelY + 1 15773 -2.32110468 1.38722473 -132.989502 79.482122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38723348-1.38722473) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dl = 55.7462499993042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38723348-1.38722473) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dr = 55.7462499993042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32115262--2.32110468) × cos(1.38723348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182533714068901 × 6371000     		do = 55.750494694406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32115262--2.32110468) × cos(1.38722473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182542317058368 × 6371000     		du = 55.7531222688301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38723348)-sin(1.38722473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182533714068901-0.182542317058368)×R²
    abs(-2.32110468--2.32115262)×8.60298946672722e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60298946672722e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60298946672722e-06×40589641000000     		ar = 3107.95425350719m²