Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17115 / 10875
↖ ↑ ↗
← N 51.652111°
E  8.031006°		 ← 757.95 m → N 51.652111°
E  8.041992°		 →
↑
758.02 m
↓
↑
758.02 m
↓
N 51.645294°
E  8.031006°		 ← 758.06 m →
574 584 m²		 N 51.645294°
E  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522323608398438 y=0.331893920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522323608398438 × 215)
    floor (0.522323608398438 × 32768)
    floor (17115.5)     		tx = 17115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331893920898438 × 215)
    floor (0.331893920898438 × 32768)
    floor (10875.5)     		ty = 10875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17115 / 10875 ti = "15/17115/10875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17115/10875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17115 ÷ 215
    17115 ÷ 32768     		x = 0.522308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10875 ÷ 215
    10875 ÷ 32768     		y = 0.331878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522308349609375 × 2 - 1) × π
    0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331878662109375 × 2 - 1) × π
    0.33624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05633752002756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14016749} λ = 0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05633752002756))-π/2
    2×atan(2.87581904825813)-π/2
    2×1.23614786345784-π/2
    2.47229572691567-1.57079632675     		φ = 0.90149940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90149940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.652111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17115 KachelY 10875 0.14016749 0.90149940 8.031006 51.652111
    Oben rechts KachelX + 1 17116 KachelY 10875 0.14035924 0.90149940 8.041992 51.652111
    Unten links KachelX 17115 KachelY + 1 10876 0.14016749 0.90138042 8.031006 51.645294
    Unten rechts KachelX + 1 17116 KachelY + 1 10876 0.14035924 0.90138042 8.041992 51.645294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90149940-0.90138042) × R
    0.000118979999999991 × 6371000     		dl = 758.021579999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90149940-0.90138042) × R
    0.000118979999999991 × 6371000     		dr = 758.021579999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14016749-0.14035924) × cos(0.90149940) × R
    0.000191749999999991 × 0.620434749590716 × 6371000     		do = 757.947442163902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14016749-0.14035924) × cos(0.90138042) × R
    0.000191749999999991 × 0.620528056224239 × 6371000     		du = 758.0614292097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90149940)-sin(0.90138042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620434749590716-0.620528056224239)×R²
    abs(0.14035924-0.14016749)×9.33066335232491e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33066335232491e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33066335232491e-05×40589641000000     		ar = 574583.720664269m²