Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17114 / 15826
↖ ↑ ↗
← N 79.455516°
W132.994995°		 ← 55.88 m → N 79.455516°
W132.992249°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.455014°
W132.994995°		 ← 55.88 m →
3 122 m²		 N 79.455014°
W132.992249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130573272705078 y=0.120746612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130573272705078 × 217)
    floor (0.130573272705078 × 131072)
    floor (17114.5)     		tx = 17114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120746612548828 × 217)
    floor (0.120746612548828 × 131072)
    floor (15826.5)     		ty = 15826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17114 / 15826 ti = "17/17114/15826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17114/15826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17114 ÷ 217
    17114 ÷ 131072     		x = 0.130569458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15826 ÷ 217
    15826 ÷ 131072     		y = 0.120742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130569458007812 × 2 - 1) × π
    -0.738861083984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32120055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120742797851562 × 2 - 1) × π
    0.758514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38294328011299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32120055} λ = -2.32120055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38294328011299))-π/2
    2×atan(10.8367515664881)-π/2
    2×1.478778348597-π/2
    2.957556697194-1.57079632675     		φ = 1.38676037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32120055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.994995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38676037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.455516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17114 KachelY 15826 -2.32120055 1.38676037 -132.994995 79.455516
    Oben rechts KachelX + 1 17115 KachelY 15826 -2.32115262 1.38676037 -132.992249 79.455516
    Unten links KachelX 17114 KachelY + 1 15827 -2.32120055 1.38675160 -132.994995 79.455014
    Unten rechts KachelX + 1 17115 KachelY + 1 15827 -2.32115262 1.38675160 -132.992249 79.455014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38676037-1.38675160) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38676037-1.38675160) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32120055--2.32115262) × cos(1.38676037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182998855183306 × 6371000     		do = 55.8809019064847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32120055--2.32115262) × cos(1.38675160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183007477078386 × 6371000     		du = 55.8835347058686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38676037)-sin(1.38675160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182998855183306-0.183007477078386)×R²
    abs(-2.32115262--2.32120055)×8.62189507960798e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62189507960798e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62189507960798e-06×40589641000000     		ar = 3122.34462460759m²