Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17111 / 18159
↖ ↑ ↗
← S 19.134789°
E  7.987060°		 ← 1 154.14 m → S 19.134789°
E  7.998047°		 →
↑
1 154.11 m
↓
↑
1 154.11 m
↓
S 19.145168°
E  7.987060°		 ← 1 154.07 m →
1 331 963 m²		 S 19.145168°
E  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522201538085938 y=0.554183959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522201538085938 × 215)
    floor (0.522201538085938 × 32768)
    floor (17111.5)     		tx = 17111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554183959960938 × 215)
    floor (0.554183959960938 × 32768)
    floor (18159.5)     		ty = 18159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17111 / 18159 ti = "15/17111/18159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17111/18159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17111 ÷ 215
    17111 ÷ 32768     		x = 0.522186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18159 ÷ 215
    18159 ÷ 32768     		y = 0.554168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522186279296875 × 2 - 1) × π
    0.04437255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13940050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.340351987302399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13940050} λ = 0.13940050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340351987302399))-π/2
    2×atan(0.711519832734014)-π/2
    2×0.618415626896336-π/2
    1.23683125379267-1.57079632675     		φ = -0.33396507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13940050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33396507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.134789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17111 KachelY 18159 0.13940050 -0.33396507 7.987060 -19.134789
    Oben rechts KachelX + 1 17112 KachelY 18159 0.13959225 -0.33396507 7.998047 -19.134789
    Unten links KachelX 17111 KachelY + 1 18160 0.13940050 -0.33414622 7.987060 -19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 17112 KachelY + 1 18160 0.13959225 -0.33414622 7.998047 -19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33396507--0.33414622) × R
    0.000181150000000019 × 6371000     		dl = 1154.10665000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33396507--0.33414622) × R
    0.000181150000000019 × 6371000     		dr = 1154.10665000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13940050-0.13959225) × cos(-0.33396507) × R
    0.000191749999999991 × 0.944750056879379 × 6371000     		do = 1154.14375092353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13940050-0.13959225) × cos(-0.33414622) × R
    0.000191749999999991 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 1154.0711917234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33396507)-sin(-0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944750056879379-0.944690661931055)×R²
    abs(0.13959225-0.13940050)×5.93949483239653e-05×R²
    0.000191749999999991×5.93949483239653e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.93949483239653e-05×40589641000000     		ar = 1331963.11111173m²