Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17111 / 15815
↖ ↑ ↗
← N 79.461044°
W133.003235°		 ← 55.85 m → N 79.461044°
W133.000488°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.460541°
W133.003235°		 ← 55.85 m →
3 121 m²		 N 79.460541°
W133.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130550384521484 y=0.120662689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130550384521484 × 217)
    floor (0.130550384521484 × 131072)
    floor (17111.5)     		tx = 17111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120662689208984 × 217)
    floor (0.120662689208984 × 131072)
    floor (15815.5)     		ty = 15815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17111 / 15815 ti = "17/17111/15815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17111/15815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17111 ÷ 217
    17111 ÷ 131072     		x = 0.130546569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15815 ÷ 217
    15815 ÷ 131072     		y = 0.120658874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130546569824219 × 2 - 1) × π
    -0.738906860351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.32134436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120658874511719 × 2 - 1) × π
    0.758682250976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.38347058600881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32134436} λ = -2.32134436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38347058600881))-π/2
    2×atan(10.842467356333)-π/2
    2×1.47882658428065-π/2
    2.95765316856131-1.57079632675     		φ = 1.38685684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32134436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.003235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38685684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.461044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17111 KachelY 15815 -2.32134436 1.38685684 -133.003235 79.461044
    Oben rechts KachelX + 1 17112 KachelY 15815 -2.32129643 1.38685684 -133.000488 79.461044
    Unten links KachelX 17111 KachelY + 1 15816 -2.32134436 1.38684807 -133.003235 79.460541
    Unten rechts KachelX + 1 17112 KachelY + 1 15816 -2.32129643 1.38684807 -133.000488 79.460541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38685684-1.38684807) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38685684-1.38684807) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32134436--2.32129643) × cos(1.38685684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182904013408628 × 6371000     		do = 55.8519408296402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32134436--2.32129643) × cos(1.38684807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182912635458496 × 6371000     		du = 55.8545736762906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38685684)-sin(1.38684807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182904013408628-0.182912635458496)×R²
    abs(-2.32129643--2.32134436)×8.622049867818e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.622049867818e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.622049867818e-06×40589641000000     		ar = 3120.72646411149m²