Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17110 / 15816
↖ ↑ ↗
← N 79.460541°
W133.005981°		 ← 55.87 m → N 79.460541°
W133.003235°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.460039°
W133.005981°		 ← 55.87 m →
3 118 m²		 N 79.460039°
W133.003235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130542755126953 y=0.120670318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130542755126953 × 217)
    floor (0.130542755126953 × 131072)
    floor (17110.5)     		tx = 17110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120670318603516 × 217)
    floor (0.120670318603516 × 131072)
    floor (15816.5)     		ty = 15816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17110 / 15816 ti = "17/17110/15816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17110/15816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17110 ÷ 217
    17110 ÷ 131072     		x = 0.130538940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15816 ÷ 217
    15816 ÷ 131072     		y = 0.12066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130538940429688 × 2 - 1) × π
    -0.738922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32139230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12066650390625 × 2 - 1) × π
    0.7586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38342264910919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32139230} λ = -2.32139230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38342264910919))-π/2
    2×atan(10.8419476145212)-π/2
    2×1.47882220025172-π/2
    2.95764440050345-1.57079632675     		φ = 1.38684807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32139230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.005981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38684807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.460541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17110 KachelY 15816 -2.32139230 1.38684807 -133.005981 79.460541
    Oben rechts KachelX + 1 17111 KachelY 15816 -2.32134436 1.38684807 -133.003235 79.460541
    Unten links KachelX 17110 KachelY + 1 15817 -2.32139230 1.38683931 -133.005981 79.460039
    Unten rechts KachelX + 1 17111 KachelY + 1 15817 -2.32134436 1.38683931 -133.003235 79.460039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38684807-1.38683931) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38684807-1.38683931) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32139230--2.32134436) × cos(1.38684807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182912635458496 × 6371000     		do = 55.8662270402248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32139230--2.32134436) × cos(1.38683931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18292124766302 × 6371000     		du = 55.8688574291645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38684807)-sin(1.38683931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182912635458496-0.18292124766302)×R²
    abs(-2.32134436--2.32139230)×8.61220452386124e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61220452386124e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61220452386124e-06×40589641000000     		ar = 3117.96529745535m²