Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1711 / 425
↖ ↑ ↗
← N 80.517603°
W 29.619141°		 ← 1 610.06 m → N 80.517603°
W 29.531250°		 →
↑
1 611.29 m
↓
↑
1 611.29 m
↓
N 80.503112°
W 29.619141°		 ← 1 612.50 m →
2 596 232 m²		 N 80.503112°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4178466796875 y=0.1038818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4178466796875 × 212)
    floor (0.4178466796875 × 4096)
    floor (1711.5)     		tx = 1711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1038818359375 × 212)
    floor (0.1038818359375 × 4096)
    floor (425.5)     		ty = 425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1711 / 425 ti = "12/1711/425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1711/425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1711 ÷ 212
    1711 ÷ 4096     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 425 ÷ 212
    425 ÷ 4096     		y = 0.103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103759765625 × 2 - 1) × π
    0.79248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48965081866724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48965081866724))-π/2
    2×atan(12.0570652831898)-π/2
    2×1.48804679868595-π/2
    2.97609359737189-1.57079632675     		φ = 1.40529727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40529727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.517603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1711 KachelY 425 -0.51695153 1.40529727 -29.619141 80.517603
    Oben rechts KachelX + 1 1712 KachelY 425 -0.51541754 1.40529727 -29.531250 80.517603
    Unten links KachelX 1711 KachelY + 1 426 -0.51695153 1.40504436 -29.619141 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 1712 KachelY + 1 426 -0.51541754 1.40504436 -29.531250 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40529727-1.40504436) × R
    0.00025290999999994 × 6371000     		dl = 1611.28960999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40529727-1.40504436) × R
    0.00025290999999994 × 6371000     		dr = 1611.28960999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51541754) × cos(1.40529727) × R
    0.0015339900000001 × 0.164744589298741 × 6371000     		do = 1610.05715622209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51541754) × cos(1.40504436) × R
    0.0015339900000001 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 1612.49503416015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40529727)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164744589298741-0.164994038331102)×R²
    abs(-0.51541754--0.51695153)×0.000249449032360877×R²
    0.0015339900000001×0.000249449032360877×6371000²
    0.0015339900000001×0.000249449032360877×40589641000000     		ar = 2596232.44486221m²