Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17101 / 18103
↖ ↑ ↗
← S 18.552532°
E  7.877197°		 ← 1 158.15 m → S 18.552532°
E  7.888184°		 →
↑
1 158.12 m
↓
↑
1 158.12 m
↓
S 18.562947°
E  7.877197°		 ← 1 158.08 m →
1 341 240 m²		 S 18.562947°
E  7.888184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521896362304688 y=0.552474975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521896362304688 × 215)
    floor (0.521896362304688 × 32768)
    floor (17101.5)     		tx = 17101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552474975585938 × 215)
    floor (0.552474975585938 × 32768)
    floor (18103.5)     		ty = 18103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17101 / 18103 ti = "15/17101/18103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17101/18103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17101 ÷ 215
    17101 ÷ 32768     		x = 0.521881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18103 ÷ 215
    18103 ÷ 32768     		y = 0.552459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521881103515625 × 2 - 1) × π
    0.04376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13748303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.10491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.329614121787506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13748303} λ = 0.13748303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329614121787506))-π/2
    2×atan(0.719201203968577)-π/2
    2×0.623496776213793-π/2
    1.24699355242759-1.57079632675     		φ = -0.32380277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13748303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32380277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.552532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17101 KachelY 18103 0.13748303 -0.32380277 7.877197 -18.552532
    Oben rechts KachelX + 1 17102 KachelY 18103 0.13767478 -0.32380277 7.888184 -18.552532
    Unten links KachelX 17101 KachelY + 1 18104 0.13748303 -0.32398455 7.877197 -18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 17102 KachelY + 1 18104 0.13767478 -0.32398455 7.888184 -18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32380277--0.32398455) × R
    0.000181779999999965 × 6371000     		dl = 1158.12037999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32380277--0.32398455) × R
    0.000181779999999965 × 6371000     		dr = 1158.12037999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13748303-0.13767478) × cos(-0.32380277) × R
    0.000191749999999991 × 0.948032333219095 × 6371000     		do = 1158.15350852947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13748303-0.13767478) × cos(-0.32398455) × R
    0.000191749999999991 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 1158.08283262709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32380277)-sin(-0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948032333219095-0.947974479886063)×R²
    abs(0.13767478-0.13748303)×5.78533330323205e-05×R²
    0.000191749999999991×5.78533330323205e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.78533330323205e-05×40589641000000     		ar = 1341240.25948802m²