Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1710 / 596
↖ ↑ ↗
← N 77.692870°
W 29.707031°		 ← 2 083.13 m → N 77.692870°
W 29.619141°		 →
↑
2 084.65 m
↓
↑
2 084.65 m
↓
N 77.674122°
W 29.707031°		 ← 2 086.26 m →
4 345 866 m²		 N 77.674122°
W 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4176025390625 y=0.1456298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4176025390625 × 212)
    floor (0.4176025390625 × 4096)
    floor (1710.5)     		tx = 1710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1456298828125 × 212)
    floor (0.1456298828125 × 4096)
    floor (596.5)     		ty = 596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1710 / 596 ti = "12/1710/596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1710/596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1710 ÷ 212
    1710 ÷ 4096     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 596 ÷ 212
    596 ÷ 4096     		y = 0.1455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    0.708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22734010394629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22734010394629))-π/2
    2×atan(9.27516227174414)-π/2
    2×1.46339635973844-π/2
    2.92679271947688-1.57079632675     		φ = 1.35599639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35599639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.692870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1710 KachelY 596 -0.51848551 1.35599639 -29.707031 77.692870
    Oben rechts KachelX + 1 1711 KachelY 596 -0.51695153 1.35599639 -29.619141 77.692870
    Unten links KachelX 1710 KachelY + 1 597 -0.51848551 1.35566918 -29.707031 77.674122
    Unten rechts KachelX + 1 1711 KachelY + 1 597 -0.51695153 1.35566918 -29.619141 77.674122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35599639-1.35566918) × R
    0.000327210000000022 × 6371000     		dl = 2084.65491000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35599639-1.35566918) × R
    0.000327210000000022 × 6371000     		dr = 2084.65491000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51695153) × cos(1.35599639) × R
    0.00153397999999993 × 0.213151967003705 × 6371000     		do = 2083.13131302772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51695153) × cos(1.35566918) × R
    0.00153397999999993 × 0.213471645993141 × 6371000     		du = 2086.25553150138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35599639)-sin(1.35566918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213151967003705-0.213471645993141)×R²
    abs(-0.51695153--0.51848551)×0.000319678989435718×R²
    0.00153397999999993×0.000319678989435718×6371000²
    0.00153397999999993×0.000319678989435718×40589641000000     		ar = 4345866.41733881m²