Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1710 / 582
↖ ↑ ↗
← N 77.952414°
W 29.707031°		 ← 2 039.86 m → N 77.952414°
W 29.619141°		 →
↑
2 041.40 m
↓
↑
2 041.40 m
↓
N 77.934055°
W 29.707031°		 ← 2 042.92 m →
4 167 281 m²		 N 77.934055°
W 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4176025390625 y=0.1422119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4176025390625 × 212)
    floor (0.4176025390625 × 4096)
    floor (1710.5)     		tx = 1710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1422119140625 × 212)
    floor (0.1422119140625 × 4096)
    floor (582.5)     		ty = 582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1710 / 582 ti = "12/1710/582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1710/582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1710 ÷ 212
    1710 ÷ 4096     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 582 ÷ 212
    582 ÷ 4096     		y = 0.14208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14208984375 × 2 - 1) × π
    0.7158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24881583497607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24881583497607))-π/2
    2×atan(9.47650744087355)-π/2
    2×1.4656613041458-π/2
    2.9313226082916-1.57079632675     		φ = 1.36052628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36052628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.952414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1710 KachelY 582 -0.51848551 1.36052628 -29.707031 77.952414
    Oben rechts KachelX + 1 1711 KachelY 582 -0.51695153 1.36052628 -29.619141 77.952414
    Unten links KachelX 1710 KachelY + 1 583 -0.51848551 1.36020586 -29.707031 77.934055
    Unten rechts KachelX + 1 1711 KachelY + 1 583 -0.51695153 1.36020586 -29.619141 77.934055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36052628-1.36020586) × R
    0.000320419999999988 × 6371000     		dl = 2041.39581999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36052628-1.36020586) × R
    0.000320419999999988 × 6371000     		dr = 2041.39581999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51695153) × cos(1.36052628) × R
    0.00153397999999993 × 0.208724006355723 × 6371000     		do = 2039.85691303823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51695153) × cos(1.36020586) × R
    0.00153397999999993 × 0.20903735825219 × 6371000     		du = 2042.91929691722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36052628)-sin(1.36020586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208724006355723-0.20903735825219)×R²
    abs(-0.51695153--0.51848551)×0.000313351896467029×R²
    0.00153397999999993×0.000313351896467029×6371000²
    0.00153397999999993×0.000313351896467029×40589641000000     		ar = 4167281.18015566m²