Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17099 / 17128
↖ ↑ ↗
← S  8.146243°
E  7.855224°		 ← 1 209.31 m → S  8.146243°
E  7.866211°		 →
↑
1 209.28 m
↓
↑
1 209.28 m
↓
S  8.157118°
E  7.855224°		 ← 1 209.28 m →
1 462 377 m²		 S  8.157118°
E  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521835327148438 y=0.522720336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521835327148438 × 215)
    floor (0.521835327148438 × 32768)
    floor (17099.5)     		tx = 17099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522720336914062 × 215)
    floor (0.522720336914062 × 32768)
    floor (17128.5)     		ty = 17128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17099 / 17128 ti = "15/17099/17128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17099/17128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17099 ÷ 215
    17099 ÷ 32768     		x = 0.521820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17128 ÷ 215
    17128 ÷ 32768     		y = 0.522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521820068359375 × 2 - 1) × π
    0.04364013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13709953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.142660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13709953} λ = 0.13709953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142660213269287))-π/2
    2×atan(0.867048630468114)-π/2
    2×0.714308783917559-π/2
    1.42861756783512-1.57079632675     		φ = -0.14217876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13709953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.855224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14217876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.146243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17099 KachelY 17128 0.13709953 -0.14217876 7.855224 -8.146243
    Oben rechts KachelX + 1 17100 KachelY 17128 0.13729128 -0.14217876 7.866211 -8.146243
    Unten links KachelX 17099 KachelY + 1 17129 0.13709953 -0.14236857 7.855224 -8.157118
    Unten rechts KachelX + 1 17100 KachelY + 1 17129 0.13729128 -0.14236857 7.866211 -8.157118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14217876--0.14236857) × R
    0.000189810000000012 × 6371000     		dl = 1209.27951000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14217876--0.14236857) × R
    0.000189810000000012 × 6371000     		dr = 1209.27951000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13709953-0.13729128) × cos(-0.14217876) × R
    0.000191749999999991 × 0.989909615222384 × 6371000     		do = 1209.312439908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13709953-0.13729128) × cos(-0.14236857) × R
    0.000191749999999991 × 0.989882701270738 × 6371000     		du = 1209.2795607683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14217876)-sin(-0.14236857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989909615222384-0.989882701270738)×R²
    abs(0.13729128-0.13709953)×2.69139516462236e-05×R²
    0.000191749999999991×2.69139516462236e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.69139516462236e-05×40589641000000     		ar = 1462376.87912437m²