Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17096 / 49656
↖ ↑ ↗
← N 39.926589°
W133.044434°		 ← 234.22 m → N 39.926589°
W133.041687°		 →
↑
234.20 m
↓
↑
234.20 m
↓
N 39.924482°
W133.044434°		 ← 234.23 m →
54 855 m²		 N 39.924482°
W133.041687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130435943603516 y=0.378849029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130435943603516 × 217)
    floor (0.130435943603516 × 131072)
    floor (17096.5)     		tx = 17096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378849029541016 × 217)
    floor (0.378849029541016 × 131072)
    floor (49656.5)     		ty = 49656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17096 / 49656 ti = "17/17096/49656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17096/49656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17096 ÷ 217
    17096 ÷ 131072     		x = 0.13043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49656 ÷ 217
    49656 ÷ 131072     		y = 0.37884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.7391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32206342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    0.2423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.761237965966492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32206342} λ = -2.32206342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761237965966492))-π/2
    2×atan(2.14092497287912)-π/2
    2×1.13382337691459-π/2
    2.26764675382918-1.57079632675     		φ = 0.69685043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32206342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69685043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.926589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17096 KachelY 49656 -2.32206342 0.69685043 -133.044434 39.926589
    Oben rechts KachelX + 1 17097 KachelY 49656 -2.32201548 0.69685043 -133.041687 39.926589
    Unten links KachelX 17096 KachelY + 1 49657 -2.32206342 0.69681367 -133.044434 39.924482
    Unten rechts KachelX + 1 17097 KachelY + 1 49657 -2.32201548 0.69681367 -133.041687 39.924482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69685043-0.69681367) × R
    3.6759999999969e-05 × 6371000     		dl = 234.197959999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69685043-0.69681367) × R
    3.6759999999969e-05 × 6371000     		dr = 234.197959999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32206342--2.32201548) × cos(0.69685043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766867399096869 × 6371000     		do = 234.221042850883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32206342--2.32201548) × cos(0.69681367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766890991351555 × 6371000     		du = 234.228248532729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69685043)-sin(0.69681367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766867399096869-0.766890991351555)×R²
    abs(-2.32201548--2.32206342)×2.35922546869549e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35922546869549e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35922546869549e-05×40589641000000     		ar = 54854.934208765m²