Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17096 / 10696
↖ ↑ ↗
← N 76.258259°
W 86.088867°		 ← 145.09 m → N 76.258259°
W 86.083374°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
N 76.256954°
W 86.088867°		 ← 145.10 m →
21 058 m²		 N 76.256954°
W 86.083374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260871887207031 y=0.163215637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260871887207031 × 216)
    floor (0.260871887207031 × 65536)
    floor (17096.5)     		tx = 17096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163215637207031 × 216)
    floor (0.163215637207031 × 65536)
    floor (10696.5)     		ty = 10696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17096 / 10696 ti = "16/17096/10696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17096/10696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17096 ÷ 216
    17096 ÷ 65536     		x = 0.2608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10696 ÷ 216
    10696 ÷ 65536     		y = 0.1632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.50253418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1632080078125 × 2 - 1) × π
    0.673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11612649682776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50253418} λ = -1.50253418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11612649682776))-π/2
    2×atan(8.29892921988564)-π/2
    2×1.45087701854683-π/2
    2.90175403709366-1.57079632675     		φ = 1.33095771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50253418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.088867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33095771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.258259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17096 KachelY 10696 -1.50253418 1.33095771 -86.088867 76.258259
    Oben rechts KachelX + 1 17097 KachelY 10696 -1.50243831 1.33095771 -86.083374 76.258259
    Unten links KachelX 17096 KachelY + 1 10697 -1.50253418 1.33093493 -86.088867 76.256954
    Unten rechts KachelX + 1 17097 KachelY + 1 10697 -1.50243831 1.33093493 -86.083374 76.256954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33095771-1.33093493) × R
    2.2780000000111e-05 × 6371000     		dl = 145.131380000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33095771-1.33093493) × R
    2.2780000000111e-05 × 6371000     		dr = 145.131380000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50253418--1.50243831) × cos(1.33095771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237545865696767 × 6371000     		do = 145.090109581645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50253418--1.50243831) × cos(1.33093493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237567993587778 × 6371000     		du = 145.10362502685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33095771)-sin(1.33093493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237545865696767-0.237567993587778)×R²
    abs(-1.50243831--1.50253418)×2.21278910109146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21278910109146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21278910109146e-05×40589641000000     		ar = 21058.1085865675m²