Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17095 / 10693
↖ ↑ ↗
← N 76.262173°
W 86.094361°		 ← 145.06 m → N 76.262173°
W 86.088867°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
N 76.260869°
W 86.094361°		 ← 145.08 m →
21 045 m²		 N 76.260869°
W 86.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260856628417969 y=0.163169860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260856628417969 × 216)
    floor (0.260856628417969 × 65536)
    floor (17095.5)     		tx = 17095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163169860839844 × 216)
    floor (0.163169860839844 × 65536)
    floor (10693.5)     		ty = 10693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17095 / 10693 ti = "16/17095/10693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17095/10693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17095 ÷ 216
    17095 ÷ 65536     		x = 0.260848999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10693 ÷ 216
    10693 ÷ 65536     		y = 0.163162231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260848999023438 × 2 - 1) × π
    -0.478302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.50263006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163162231445312 × 2 - 1) × π
    0.673675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11641411822548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50263006} λ = -1.50263006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11641411822548))-π/2
    2×atan(8.30131651280925)-π/2
    2×1.45091117541197-π/2
    2.90182235082395-1.57079632675     		φ = 1.33102602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50263006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.094361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33102602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.262173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17095 KachelY 10693 -1.50263006 1.33102602 -86.094361 76.262173
    Oben rechts KachelX + 1 17096 KachelY 10693 -1.50253418 1.33102602 -86.088867 76.262173
    Unten links KachelX 17095 KachelY + 1 10694 -1.50263006 1.33100325 -86.094361 76.260869
    Unten rechts KachelX + 1 17096 KachelY + 1 10694 -1.50253418 1.33100325 -86.088867 76.260869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33102602-1.33100325) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33102602-1.33100325) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50263006--1.50253418) × cos(1.33102602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237479510425941 × 6371000     		do = 145.064710413267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50263006--1.50253418) × cos(1.33100325) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237501628972692 × 6371000     		du = 145.078221560285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33102602)-sin(1.33100325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237479510425941-0.237501628972692)×R²
    abs(-1.50253418--1.50263006)×2.21185467505214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.21185467505214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.21185467505214e-05×40589641000000     		ar = 21045.1795553385m²