Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17093 / 17395
↖ ↑ ↗
← S 11.038255°
E  7.789307°		 ← 1 198.98 m → S 11.038255°
E  7.800293°		 →
↑
1 199.02 m
↓
↑
1 199.02 m
↓
S 11.049038°
E  7.789307°		 ← 1 198.93 m →
1 437 572 m²		 S 11.049038°
E  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521652221679688 y=0.530868530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521652221679688 × 215)
    floor (0.521652221679688 × 32768)
    floor (17093.5)     		tx = 17093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530868530273438 × 215)
    floor (0.530868530273438 × 32768)
    floor (17395.5)     		ty = 17395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17093 / 17395 ti = "15/17093/17395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17093/17395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17093 ÷ 215
    17093 ÷ 32768     		x = 0.521636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17395 ÷ 215
    17395 ÷ 32768     		y = 0.530853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521636962890625 × 2 - 1) × π
    0.04327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13594905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.06170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.193856822063507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13594905} λ = 0.13594905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193856822063507))-π/2
    2×atan(0.82377584235055)-π/2
    2×0.689071212601411-π/2
    1.37814242520282-1.57079632675     		φ = -0.19265390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13594905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19265390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.038255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17093 KachelY 17395 0.13594905 -0.19265390 7.789307 -11.038255
    Oben rechts KachelX + 1 17094 KachelY 17395 0.13614079 -0.19265390 7.800293 -11.038255
    Unten links KachelX 17093 KachelY + 1 17396 0.13594905 -0.19284210 7.789307 -11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 17094 KachelY + 1 17396 0.13614079 -0.19284210 7.800293 -11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19265390--0.19284210) × R
    0.000188199999999999 × 6371000     		dl = 1199.0222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19265390--0.19284210) × R
    0.000188199999999999 × 6371000     		dr = 1199.0222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13594905-0.13614079) × cos(-0.19265390) × R
    0.000191740000000024 × 0.981499564867425 × 6371000     		do = 1198.97586096284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13594905-0.13614079) × cos(-0.19284210) × R
    0.000191740000000024 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 1198.9318219726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19265390)-sin(-0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981499564867425-0.98146351389162)×R²
    abs(0.13614079-0.13594905)×3.60509758052796e-05×R²
    0.000191740000000024×3.60509758052796e-05×6371000²
    0.000191740000000024×3.60509758052796e-05×40589641000000     		ar = 1437572.27693819m²