Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17092 / 17396
↖ ↑ ↗
← S 11.049038°
E  7.778320°		 ← 1 198.99 m → S 11.049038°
E  7.789307°		 →
↑
1 198.96 m
↓
↑
1 198.96 m
↓
S 11.059821°
E  7.778320°		 ← 1 198.95 m →
1 437 518 m²		 S 11.059821°
E  7.789307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521621704101562 y=0.530899047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521621704101562 × 215)
    floor (0.521621704101562 × 32768)
    floor (17092.5)     		tx = 17092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530899047851562 × 215)
    floor (0.530899047851562 × 32768)
    floor (17396.5)     		ty = 17396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17092 / 17396 ti = "15/17092/17396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17092/17396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17092 ÷ 215
    17092 ÷ 32768     		x = 0.5216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17396 ÷ 215
    17396 ÷ 32768     		y = 0.5308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5216064453125 × 2 - 1) × π
    0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194048569661987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13575730} λ = 0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194048569661987))-π/2
    2×atan(0.823617900454067)-π/2
    2×0.688977114237079-π/2
    1.37795422847416-1.57079632675     		φ = -0.19284210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19284210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.049038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17092 KachelY 17396 0.13575730 -0.19284210 7.778320 -11.049038
    Oben rechts KachelX + 1 17093 KachelY 17396 0.13594905 -0.19284210 7.789307 -11.049038
    Unten links KachelX 17092 KachelY + 1 17397 0.13575730 -0.19303029 7.778320 -11.059821
    Unten rechts KachelX + 1 17093 KachelY + 1 17397 0.13594905 -0.19303029 7.789307 -11.059821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19284210--0.19303029) × R
    0.000188190000000005 × 6371000     		dl = 1198.95849000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19284210--0.19303029) × R
    0.000188190000000005 × 6371000     		dr = 1198.95849000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13575730-0.13594905) × cos(-0.19284210) × R
    0.000191749999999991 × 0.98146351389162 × 6371000     		do = 1198.99435101286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13575730-0.13594905) × cos(-0.19303029) × R
    0.000191749999999991 × 0.98142743007146 × 6371000     		du = 1198.95026960187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19284210)-sin(-0.19303029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98146351389162-0.98142743007146)×R²
    abs(0.13594905-0.13575730)×3.60838201590719e-05×R²
    0.000191749999999991×3.60838201590719e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.60838201590719e-05×40589641000000     		ar = 1437518.03496053m²