Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1709 / 470
↖ ↑ ↗
← N 79.843346°
W 29.794922°		 ← 1 723.37 m → N 79.843346°
W 29.707031°		 →
↑
1 724.69 m
↓
↑
1 724.69 m
↓
N 79.827836°
W 29.794922°		 ← 1 725.97 m →
2 974 530 m²		 N 79.827836°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4173583984375 y=0.1148681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4173583984375 × 212)
    floor (0.4173583984375 × 4096)
    floor (1709.5)     		tx = 1709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1148681640625 × 212)
    floor (0.1148681640625 × 4096)
    floor (470.5)     		ty = 470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1709 / 470 ti = "12/1709/470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1709/470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1709 ÷ 212
    1709 ÷ 4096     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 470 ÷ 212
    470 ÷ 4096     		y = 0.11474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11474609375 × 2 - 1) × π
    0.7705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42062168321436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42062168321436))-π/2
    2×atan(11.2528528505055)-π/2
    2×1.4821628036372-π/2
    2.96432560727441-1.57079632675     		φ = 1.39352928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39352928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.843346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1709 KachelY 470 -0.52001949 1.39352928 -29.794922 79.843346
    Oben rechts KachelX + 1 1710 KachelY 470 -0.51848551 1.39352928 -29.707031 79.843346
    Unten links KachelX 1709 KachelY + 1 471 -0.52001949 1.39325857 -29.794922 79.827836
    Unten rechts KachelX + 1 1710 KachelY + 1 471 -0.51848551 1.39325857 -29.707031 79.827836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39352928-1.39325857) × R
    0.000270710000000118 × 6371000     		dl = 1724.69341000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39352928-1.39325857) × R
    0.000270710000000118 × 6371000     		dr = 1724.69341000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51848551) × cos(1.39352928) × R
    0.00153398000000005 × 0.176340109410918 × 6371000     		do = 1723.36952278869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51848551) × cos(1.39325857) × R
    0.00153398000000005 × 0.17660657073033 × 6371000     		du = 1725.97364568739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39352928)-sin(1.39325857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176340109410918-0.17660657073033)×R²
    abs(-0.51848551--0.52001949)×0.000266461319411632×R²
    0.00153398000000005×0.000266461319411632×6371000²
    0.00153398000000005×0.000266461319411632×40589641000000     		ar = 2974529.73391505m²