Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17086 / 17158
↖ ↑ ↗
← S  8.472372°
E  7.712402°		 ← 1 208.31 m → S  8.472372°
E  7.723389°		 →
↑
1 208.26 m
↓
↑
1 208.26 m
↓
S  8.483238°
E  7.712402°		 ← 1 208.27 m →
1 459 929 m²		 S  8.483238°
E  7.723389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521438598632812 y=0.523635864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521438598632812 × 215)
    floor (0.521438598632812 × 32768)
    floor (17086.5)     		tx = 17086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523635864257812 × 215)
    floor (0.523635864257812 × 32768)
    floor (17158.5)     		ty = 17158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17086 / 17158 ti = "15/17086/17158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17086/17158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17086 ÷ 215
    17086 ÷ 32768     		x = 0.52142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17158 ÷ 215
    17158 ÷ 32768     		y = 0.52362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52142333984375 × 2 - 1) × π
    0.0428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13460681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.148412641223694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13460681} λ = 0.13460681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148412641223694))-π/2
    2×atan(0.862075313725597)-π/2
    2×0.71146276750381-π/2
    1.42292553500762-1.57079632675     		φ = -0.14787079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13460681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14787079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.472372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17086 KachelY 17158 0.13460681 -0.14787079 7.712402 -8.472372
    Oben rechts KachelX + 1 17087 KachelY 17158 0.13479856 -0.14787079 7.723389 -8.472372
    Unten links KachelX 17086 KachelY + 1 17159 0.13460681 -0.14806044 7.712402 -8.483238
    Unten rechts KachelX + 1 17087 KachelY + 1 17159 0.13479856 -0.14806044 7.723389 -8.483238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14787079--0.14806044) × R
    0.000189649999999986 × 6371000     		dl = 1208.26014999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14787079--0.14806044) × R
    0.000189649999999986 × 6371000     		dr = 1208.26014999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13460681-0.13479856) × cos(-0.14787079) × R
    0.000191750000000018 × 0.989087021548261 × 6371000     		do = 1208.30752718907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13460681-0.13479856) × cos(-0.14806044) × R
    0.000191750000000018 × 0.989059062153623 × 6371000     		du = 1208.27337089517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14787079)-sin(-0.14806044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989087021548261-0.989059062153623)×R²
    abs(0.13479856-0.13460681)×2.79593946372891e-05×R²
    0.000191750000000018×2.79593946372891e-05×6371000²
    0.000191750000000018×2.79593946372891e-05×40589641000000     		ar = 1459929.20357876m²