Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17084 / 15788
↖ ↑ ↗
← N 79.474599°
W133.077393°		 ← 55.79 m → N 79.474599°
W133.074646°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.474097°
W133.077393°		 ← 55.80 m →
3 110 m²		 N 79.474097°
W133.074646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130344390869141 y=0.120456695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130344390869141 × 217)
    floor (0.130344390869141 × 131072)
    floor (17084.5)     		tx = 17084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120456695556641 × 217)
    floor (0.120456695556641 × 131072)
    floor (15788.5)     		ty = 15788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17084 / 15788 ti = "17/17084/15788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17084/15788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17084 ÷ 217
    17084 ÷ 131072     		x = 0.130340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15788 ÷ 217
    15788 ÷ 131072     		y = 0.120452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.73931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32263866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120452880859375 × 2 - 1) × π
    0.75909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38476488229855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32263866} λ = -2.32263866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38476488229855))-π/2
    2×atan(10.8565098071897)-π/2
    2×1.47894487499518-π/2
    2.95788974999036-1.57079632675     		φ = 1.38709342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32263866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.077393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38709342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.474599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17084 KachelY 15788 -2.32263866 1.38709342 -133.077393 79.474599
    Oben rechts KachelX + 1 17085 KachelY 15788 -2.32259072 1.38709342 -133.074646 79.474599
    Unten links KachelX 17084 KachelY + 1 15789 -2.32263866 1.38708467 -133.077393 79.474097
    Unten rechts KachelX + 1 17085 KachelY + 1 15789 -2.32259072 1.38708467 -133.074646 79.474097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38709342-1.38708467) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dl = 55.7462500007189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38709342-1.38708467) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dr = 55.7462500007189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32263866--2.32259072) × cos(1.38709342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182671419213335 × 6371000     		do = 55.7925533900466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32263866--2.32259072) × cos(1.38708467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182680021979013 × 6371000     		du = 55.7951808961198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38709342)-sin(1.38708467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182671419213335-0.182680021979013)×R²
    abs(-2.32259072--2.32263866)×8.60276567765661e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60276567765661e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60276567765661e-06×40589641000000     		ar = 3110.29886641631m²