Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17083 / 10709
↖ ↑ ↗
← N 76.241286°
W 86.160278°		 ← 145.27 m → N 76.241286°
W 86.154785°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
N 76.239979°
W 86.160278°		 ← 145.28 m →
21 102 m²		 N 76.239979°
W 86.154785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260673522949219 y=0.163414001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260673522949219 × 216)
    floor (0.260673522949219 × 65536)
    floor (17083.5)     		tx = 17083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163414001464844 × 216)
    floor (0.163414001464844 × 65536)
    floor (10709.5)     		ty = 10709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17083 / 10709 ti = "16/17083/10709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17083/10709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17083 ÷ 216
    17083 ÷ 65536     		x = 0.260665893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10709 ÷ 216
    10709 ÷ 65536     		y = 0.163406372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260665893554688 × 2 - 1) × π
    -0.478668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50378054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163406372070312 × 2 - 1) × π
    0.673187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11488013743764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50378054} λ = -1.50378054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11488013743764))-π/2
    2×atan(8.28859221467438)-π/2
    2×1.4507288951418-π/2
    2.9014577902836-1.57079632675     		φ = 1.33066146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50378054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.160278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33066146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.241286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17083 KachelY 10709 -1.50378054 1.33066146 -86.160278 76.241286
    Oben rechts KachelX + 1 17084 KachelY 10709 -1.50368467 1.33066146 -86.154785 76.241286
    Unten links KachelX 17083 KachelY + 1 10710 -1.50378054 1.33063866 -86.160278 76.239979
    Unten rechts KachelX + 1 17084 KachelY + 1 10710 -1.50368467 1.33063866 -86.154785 76.239979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33066146-1.33063866) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33066146-1.33063866) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50378054--1.50368467) × cos(1.33066146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237833625504374 × 6371000     		do = 145.265869752829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50378054--1.50368467) × cos(1.33063866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237855771217253 × 6371000     		du = 145.279396083413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33066146)-sin(1.33063866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237833625504374-0.237855771217253)×R²
    abs(-1.50368467--1.50378054)×2.21457128788127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21457128788127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21457128788127e-05×40589641000000     		ar = 21102.1283314395m²