Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17082 / 10710
↖ ↑ ↗
← N 76.239979°
W 86.165771°		 ← 145.28 m → N 76.239979°
W 86.160278°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
N 76.238673°
W 86.165771°		 ← 145.29 m →
21 104 m²		 N 76.238673°
W 86.160278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260658264160156 y=0.163429260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260658264160156 × 216)
    floor (0.260658264160156 × 65536)
    floor (17082.5)     		tx = 17082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163429260253906 × 216)
    floor (0.163429260253906 × 65536)
    floor (10710.5)     		ty = 10710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17082 / 10710 ti = "16/17082/10710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17082/10710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17082 ÷ 216
    17082 ÷ 65536     		x = 0.260650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10710 ÷ 216
    10710 ÷ 65536     		y = 0.163421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.47869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50387641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163421630859375 × 2 - 1) × π
    0.67315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1147842636384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50387641} λ = -1.50387641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1147842636384))-π/2
    2×atan(8.28779759394066)-π/2
    2×1.45071749360447-π/2
    2.90143498720894-1.57079632675     		φ = 1.33063866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50387641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.165771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33063866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.239979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17082 KachelY 10710 -1.50387641 1.33063866 -86.165771 76.239979
    Oben rechts KachelX + 1 17083 KachelY 10710 -1.50378054 1.33063866 -86.160278 76.239979
    Unten links KachelX 17082 KachelY + 1 10711 -1.50387641 1.33061586 -86.165771 76.238673
    Unten rechts KachelX + 1 17083 KachelY + 1 10711 -1.50378054 1.33061586 -86.160278 76.238673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33063866-1.33061586) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33063866-1.33061586) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50387641--1.50378054) × cos(1.33063866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237855771217253 × 6371000     		do = 145.279396083413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50387641--1.50378054) × cos(1.33061586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237877916806485 × 6371000     		du = 145.292922338475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33063866)-sin(1.33061586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237855771217253-0.237877916806485)×R²
    abs(-1.50378054--1.50387641)×2.21455892318589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21455892318589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21455892318589e-05×40589641000000     		ar = 21104.0931446545m²