Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1708 / 436
↖ ↑ ↗
← N 80.356996°
W 29.882813°		 ← 1 637.06 m → N 80.356996°
W 29.794922°		 →
↑
1 638.30 m
↓
↑
1 638.30 m
↓
N 80.342262°
W 29.882813°		 ← 1 639.54 m →
2 684 031 m²		 N 80.342262°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4171142578125 y=0.1065673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4171142578125 × 212)
    floor (0.4171142578125 × 4096)
    floor (1708.5)     		tx = 1708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1065673828125 × 212)
    floor (0.1065673828125 × 4096)
    floor (436.5)     		ty = 436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1708 / 436 ti = "12/1708/436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1708/436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1708 ÷ 212
    1708 ÷ 4096     		x = 0.4169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 436 ÷ 212
    436 ÷ 4096     		y = 0.1064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52155347} λ = -0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47277703000098))-π/2
    2×atan(11.8553237702043)-π/2
    2×1.48664523690651-π/2
    2.97329047381303-1.57079632675     		φ = 1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1708 KachelY 436 -0.52155347 1.40249415 -29.882813 80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 1709 KachelY 436 -0.52001949 1.40249415 -29.794922 80.356996
    Unten links KachelX 1708 KachelY + 1 437 -0.52155347 1.40223700 -29.882813 80.342262
    Unten rechts KachelX + 1 1709 KachelY + 1 437 -0.52001949 1.40223700 -29.794922 80.342262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40249415-1.40223700) × R
    0.00025715000000015 × 6371000     		dl = 1638.30265000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40249415-1.40223700) × R
    0.00025715000000015 × 6371000     		dr = 1638.30265000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52155347--0.52001949) × cos(1.40249415) × R
    0.00153397999999993 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 1637.06083751921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52155347--0.52001949) × cos(1.40223700) × R
    0.00153397999999993 × 0.167762268420854 × 6371000     		du = 1639.5383979073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40249415)-sin(1.40223700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.167762268420854)×R²
    abs(-0.52001949--0.52155347)×0.000253511080549024×R²
    0.00153397999999993×0.000253511080549024×6371000²
    0.00153397999999993×0.000253511080549024×40589641000000     		ar = 2684030.61998445m²