Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17078 / 15766
↖ ↑ ↗
← N 79.485631°
W133.093872°		 ← 55.73 m → N 79.485631°
W133.091125°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.485130°
W133.093872°		 ← 55.74 m →
3 107 m²		 N 79.485130°
W133.091125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130298614501953 y=0.120288848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130298614501953 × 217)
    floor (0.130298614501953 × 131072)
    floor (17078.5)     		tx = 17078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120288848876953 × 217)
    floor (0.120288848876953 × 131072)
    floor (15766.5)     		ty = 15766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17078 / 15766 ti = "17/17078/15766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17078/15766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17078 ÷ 217
    17078 ÷ 131072     		x = 0.130294799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15766 ÷ 217
    15766 ÷ 131072     		y = 0.120285034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130294799804688 × 2 - 1) × π
    -0.739410400390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32292628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120285034179688 × 2 - 1) × π
    0.759429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38581949409019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32292628} λ = -2.32292628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38581949409019))-π/2
    2×atan(10.8679652499091)-π/2
    2×1.4790411487891-π/2
    2.95808229757819-1.57079632675     		φ = 1.38728597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32292628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.093872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38728597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.485631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17078 KachelY 15766 -2.32292628 1.38728597 -133.093872 79.485631
    Oben rechts KachelX + 1 17079 KachelY 15766 -2.32287834 1.38728597 -133.091125 79.485631
    Unten links KachelX 17078 KachelY + 1 15767 -2.32292628 1.38727722 -133.093872 79.485130
    Unten rechts KachelX + 1 17079 KachelY + 1 15767 -2.32287834 1.38727722 -133.091125 79.485130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38728597-1.38727722) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dl = 55.7462499993042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38728597-1.38727722) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dr = 55.7462499993042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32292628--2.32287834) × cos(1.38728597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182482105670735 × 6371000     		do = 55.7347321612059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32292628--2.32287834) × cos(1.38727722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182490708744027 × 6371000     		du = 55.7373597612324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38728597)-sin(1.38727722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182482105670735-0.182490708744027)×R²
    abs(-2.32287834--2.32292628)×8.60307329228482e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60307329228482e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60307329228482e-06×40589641000000     		ar = 3107.07555211409m²