Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17077 / 12019
↖ ↑ ↗
← N 43.173135°
E  7.613526°		 ← 890.88 m → N 43.173135°
E  7.624512°		 →
↑
890.98 m
↓
↑
890.98 m
↓
N 43.165123°
E  7.613526°		 ← 891 m →
793 814 m²		 N 43.165123°
E  7.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521163940429688 y=0.366806030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521163940429688 × 215)
    floor (0.521163940429688 × 32768)
    floor (17077.5)     		tx = 17077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366806030273438 × 215)
    floor (0.366806030273438 × 32768)
    floor (12019.5)     		ty = 12019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17077 / 12019 ti = "15/17077/12019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17077/12019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17077 ÷ 215
    17077 ÷ 32768     		x = 0.521148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12019 ÷ 215
    12019 ÷ 32768     		y = 0.366790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521148681640625 × 2 - 1) × π
    0.04229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13288109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366790771484375 × 2 - 1) × π
    0.26641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.83697826736618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13288109} λ = 0.13288109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83697826736618))-π/2
    2×atan(2.30937809967234)-π/2
    2×1.16215484370593-π/2
    2.32430968741187-1.57079632675     		φ = 0.75351336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13288109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.613526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75351336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.173135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17077 KachelY 12019 0.13288109 0.75351336 7.613526 43.173135
    Oben rechts KachelX + 1 17078 KachelY 12019 0.13307283 0.75351336 7.624512 43.173135
    Unten links KachelX 17077 KachelY + 1 12020 0.13288109 0.75337351 7.613526 43.165123
    Unten rechts KachelX + 1 17078 KachelY + 1 12020 0.13307283 0.75337351 7.624512 43.165123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75351336-0.75337351) × R
    0.000139850000000052 × 6371000     		dl = 890.984350000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75351336-0.75337351) × R
    0.000139850000000052 × 6371000     		dr = 890.984350000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13288109-0.13307283) × cos(0.75351336) × R
    0.000191739999999996 × 0.729289515578023 × 6371000     		do = 890.882233808543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13288109-0.13307283) × cos(0.75337351) × R
    0.000191739999999996 × 0.72938519454798 × 6371000     		du = 890.999112897934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75351336)-sin(0.75337351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729289515578023-0.72938519454798)×R²
    abs(0.13307283-0.13288109)×9.56789699566585e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56789699566585e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56789699566585e-05×40589641000000     		ar = 793814.19803071m²