Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17074 / 15582
↖ ↑ ↗
← N 79.577453°
W133.104858°		 ← 55.25 m → N 79.577453°
W133.102112°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.576957°
W133.104858°		 ← 55.26 m →
3 052 m²		 N 79.576957°
W133.102112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130268096923828 y=0.118885040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130268096923828 × 217)
    floor (0.130268096923828 × 131072)
    floor (17074.5)     		tx = 17074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118885040283203 × 217)
    floor (0.118885040283203 × 131072)
    floor (15582.5)     		ty = 15582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17074 / 15582 ti = "17/17074/15582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17074/15582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17074 ÷ 217
    17074 ÷ 131072     		x = 0.130264282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15582 ÷ 217
    15582 ÷ 131072     		y = 0.118881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.739471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32311803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118881225585938 × 2 - 1) × π
    0.762237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39463988362029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32311803} λ = -2.32311803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39463988362029))-π/2
    2×atan(10.9642489424169)-π/2
    2×1.47984245048604-π/2
    2.95968490097207-1.57079632675     		φ = 1.38888857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32311803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.104858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38888857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.577453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17074 KachelY 15582 -2.32311803 1.38888857 -133.104858 79.577453
    Oben rechts KachelX + 1 17075 KachelY 15582 -2.32307009 1.38888857 -133.102112 79.577453
    Unten links KachelX 17074 KachelY + 1 15583 -2.32311803 1.38887990 -133.104858 79.576957
    Unten rechts KachelX + 1 17075 KachelY + 1 15583 -2.32307009 1.38887990 -133.102112 79.576957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38888857-1.38887990) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dl = 55.2365699995725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38888857-1.38887990) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dr = 55.2365699995725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32311803--2.32307009) × cos(1.38888857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18090618098514 × 6371000     		do = 55.253404197924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32311803--2.32307009) × cos(1.38887990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180914707926442 × 6371000     		du = 55.2560085452812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38888857)-sin(1.38887990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18090618098514-0.180914707926442)×R²
    abs(-2.32307009--2.32311803)×8.52694130221154e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.52694130221154e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.52694130221154e-06×40589641000000     		ar = 3052.08045642469m²