Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17072 / 18133
↖ ↑ ↗
← S 18.864707°
E  7.558594°		 ← 1 156.02 m → S 18.864707°
E  7.569580°		 →
↑
1 155.95 m
↓
↑
1 155.95 m
↓
S 18.875103°
E  7.558594°		 ← 1 155.95 m →
1 336 263 m²		 S 18.875103°
E  7.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521011352539062 y=0.553390502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521011352539062 × 215)
    floor (0.521011352539062 × 32768)
    floor (17072.5)     		tx = 17072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553390502929688 × 215)
    floor (0.553390502929688 × 32768)
    floor (18133.5)     		ty = 18133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17072 / 18133 ti = "15/17072/18133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17072/18133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17072 ÷ 215
    17072 ÷ 32768     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18133 ÷ 215
    18133 ÷ 32768     		y = 0.553375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.10675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.335366549741913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335366549741913))-π/2
    2×atan(0.715075927411708)-π/2
    2×0.62077253967615-π/2
    1.2415450793523-1.57079632675     		φ = -0.32925125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32925125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.864707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17072 KachelY 18133 0.13192235 -0.32925125 7.558594 -18.864707
    Oben rechts KachelX + 1 17073 KachelY 18133 0.13211410 -0.32925125 7.569580 -18.864707
    Unten links KachelX 17072 KachelY + 1 18134 0.13192235 -0.32943269 7.558594 -18.875103
    Unten rechts KachelX + 1 17073 KachelY + 1 18134 0.13211410 -0.32943269 7.569580 -18.875103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32925125--0.32943269) × R
    0.000181439999999977 × 6371000     		dl = 1155.95423999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32925125--0.32943269) × R
    0.000181439999999977 × 6371000     		dr = 1155.95423999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(-0.32925125) × R
    0.000191750000000018 × 0.946284705535006 × 6371000     		do = 1156.01853795637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(-0.32943269) × R
    0.000191750000000018 × 0.946226024131534 × 6371000     		du = 1155.94685045064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32925125)-sin(-0.32943269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946284705535006-0.946226024131534)×R²
    abs(0.13211410-0.13192235)×5.86814034718719e-05×R²
    0.000191750000000018×5.86814034718719e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.86814034718719e-05×40589641000000     		ar = 1336263.10039654m²