Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17072 / 17200
↖ ↑ ↗
← S  8.928487°
E  7.558594°		 ← 1 206.84 m → S  8.928487°
E  7.569580°		 →
↑
1 206.79 m
↓
↑
1 206.79 m
↓
S  8.939340°
E  7.558594°		 ← 1 206.80 m →
1 456 382 m²		 S  8.939340°
E  7.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521011352539062 y=0.524917602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521011352539062 × 215)
    floor (0.521011352539062 × 32768)
    floor (17072.5)     		tx = 17072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524917602539062 × 215)
    floor (0.524917602539062 × 32768)
    floor (17200.5)     		ty = 17200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17072 / 17200 ti = "15/17072/17200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17072/17200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17072 ÷ 215
    17072 ÷ 32768     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17200 ÷ 215
    17200 ÷ 32768     		y = 0.52490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156466040359863))-π/2
    2×atan(0.855160558154619)-π/2
    2×0.707482415167042-π/2
    1.41496483033408-1.57079632675     		φ = -0.15583150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15583150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.928487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17072 KachelY 17200 0.13192235 -0.15583150 7.558594 -8.928487
    Oben rechts KachelX + 1 17073 KachelY 17200 0.13211410 -0.15583150 7.569580 -8.928487
    Unten links KachelX 17072 KachelY + 1 17201 0.13192235 -0.15602092 7.558594 -8.939340
    Unten rechts KachelX + 1 17073 KachelY + 1 17201 0.13211410 -0.15602092 7.569580 -8.939340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15583150--0.15602092) × R
    0.000189419999999996 × 6371000     		dl = 1206.79481999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15583150--0.15602092) × R
    0.000189419999999996 × 6371000     		dr = 1206.79481999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(-0.15583150) × R
    0.000191750000000018 × 0.987882822184733 × 6371000     		do = 1206.83642998176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(-0.15602092) × R
    0.000191750000000018 × 0.987853406179529 × 6371000     		du = 1206.80049423522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15583150)-sin(-0.15602092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987882822184733-0.987853406179529)×R²
    abs(0.13211410-0.13192235)×2.94160052046744e-05×R²
    0.000191750000000018×2.94160052046744e-05×6371000²
    0.000191750000000018×2.94160052046744e-05×40589641000000     		ar = 1456382.27310746m²