Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1707 / 472
↖ ↑ ↗
← N 79.812302°
W 29.970703°		 ← 1 728.58 m → N 79.812302°
W 29.882813°		 →
↑
1 729.92 m
↓
↑
1 729.92 m
↓
N 79.796745°
W 29.970703°		 ← 1 731.19 m →
2 992 563 m²		 N 79.796745°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4168701171875 y=0.1153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4168701171875 × 212)
    floor (0.4168701171875 × 4096)
    floor (1707.5)     		tx = 1707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1153564453125 × 212)
    floor (0.1153564453125 × 4096)
    floor (472.5)     		ty = 472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1707 / 472 ti = "12/1707/472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1707/472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1707 ÷ 212
    1707 ÷ 4096     		x = 0.416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 472 ÷ 212
    472 ÷ 4096     		y = 0.115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115234375 × 2 - 1) × π
    0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52308745} λ = -0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41755372163867))-π/2
    2×atan(11.2183824343369)-π/2
    2×1.48189189245685-π/2
    2.96378378491369-1.57079632675     		φ = 1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1707 KachelY 472 -0.52308745 1.39298746 -29.970703 79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 1708 KachelY 472 -0.52155347 1.39298746 -29.882813 79.812302
    Unten links KachelX 1707 KachelY + 1 473 -0.52308745 1.39271593 -29.970703 79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 1708 KachelY + 1 473 -0.52155347 1.39271593 -29.882813 79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39298746-1.39271593) × R
    0.00027153000000002 × 6371000     		dl = 1729.91763000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39298746-1.39271593) × R
    0.00027153000000002 × 6371000     		dr = 1729.91763000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52308745--0.52155347) × cos(1.39298746) × R
    0.00153398000000005 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 1728.58148966088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52308745--0.52155347) × cos(1.39271593) × R
    0.00153398000000005 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 1731.19324632418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39298746)-sin(1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.177140655228867)×R²
    abs(-0.52155347--0.52308745)×0.000267242428087344×R²
    0.00153398000000005×0.000267242428087344×6371000²
    0.00153398000000005×0.000267242428087344×40589641000000     		ar = 2992562.67418642m²