Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1707 / 427
↖ ↑ ↗
← N 80.488600°
W 29.970703°		 ← 1 614.93 m → N 80.488600°
W 29.882813°		 →
↑
1 616.20 m
↓
↑
1 616.20 m
↓
N 80.474065°
W 29.970703°		 ← 1 617.37 m →
2 612 011 m²		 N 80.474065°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4168701171875 y=0.1043701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4168701171875 × 212)
    floor (0.4168701171875 × 4096)
    floor (1707.5)     		tx = 1707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1043701171875 × 212)
    floor (0.1043701171875 × 4096)
    floor (427.5)     		ty = 427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1707 / 427 ti = "12/1707/427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1707/427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1707 ÷ 212
    1707 ÷ 4096     		x = 0.416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 427 ÷ 212
    427 ÷ 4096     		y = 0.104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    0.79150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48658285709155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52308745} λ = -0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48658285709155))-π/2
    2×atan(12.0201313550913)-π/2
    2×1.48779370091364-π/2
    2.97558740182727-1.57079632675     		φ = 1.40479108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40479108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.488600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1707 KachelY 427 -0.52308745 1.40479108 -29.970703 80.488600
    Oben rechts KachelX + 1 1708 KachelY 427 -0.52155347 1.40479108 -29.882813 80.488600
    Unten links KachelX 1707 KachelY + 1 428 -0.52308745 1.40453740 -29.970703 80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 1708 KachelY + 1 428 -0.52155347 1.40453740 -29.882813 80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40479108-1.40453740) × R
    0.000253680000000145 × 6371000     		dl = 1616.19528000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40479108-1.40453740) × R
    0.000253680000000145 × 6371000     		dr = 1616.19528000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52308745--0.52155347) × cos(1.40479108) × R
    0.00153398000000005 × 0.165243841723398 × 6371000     		do = 1614.92584759046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52308745--0.52155347) × cos(1.40453740) × R
    0.00153398000000005 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 1617.37092448236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40479108)-sin(1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165243841723398-0.165494028999507)×R²
    abs(-0.52155347--0.52308745)×0.00025018727610876×R²
    0.00153398000000005×0.00025018727610876×6371000²
    0.00153398000000005×0.00025018727610876×40589641000000     		ar = 2612011.40730227m²