Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17068 / 17127
↖ ↑ ↗
← S  8.135367°
E  7.514649°		 ← 1 209.28 m → S  8.135367°
E  7.525634°		 →
↑
1 209.34 m
↓
↑
1 209.34 m
↓
S  8.146243°
E  7.514649°		 ← 1 209.25 m →
1 462 417 m²		 S  8.146243°
E  7.525634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520889282226562 y=0.522689819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520889282226562 × 215)
    floor (0.520889282226562 × 32768)
    floor (17068.5)     		tx = 17068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522689819335938 × 215)
    floor (0.522689819335938 × 32768)
    floor (17127.5)     		ty = 17127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17068 / 17127 ti = "15/17068/17127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17068/17127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17068 ÷ 215
    17068 ÷ 32768     		x = 0.5208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17127 ÷ 215
    17127 ÷ 32768     		y = 0.522674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5208740234375 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.04534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.142468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13115536} λ = 0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142468465670807))-π/2
    2×atan(0.86721490090124)-π/2
    2×0.714403691602067-π/2
    1.42880738320413-1.57079632675     		φ = -0.14198894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14198894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.135367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17068 KachelY 17127 0.13115536 -0.14198894 7.514649 -8.135367
    Oben rechts KachelX + 1 17069 KachelY 17127 0.13134710 -0.14198894 7.525634 -8.135367
    Unten links KachelX 17068 KachelY + 1 17128 0.13115536 -0.14217876 7.514649 -8.146243
    Unten rechts KachelX + 1 17069 KachelY + 1 17128 0.13134710 -0.14217876 7.525634 -8.146243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14198894--0.14217876) × R
    0.000189819999999979 × 6371000     		dl = 1209.34321999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14198894--0.14217876) × R
    0.000189819999999979 × 6371000     		dr = 1209.34321999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13115536-0.13134710) × cos(-0.14198894) × R
    0.000191739999999996 × 0.989936494924852 × 6371000     		do = 1209.28220835351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13115536-0.13134710) × cos(-0.14217876) × R
    0.000191739999999996 × 0.989909615222384 × 6371000     		du = 1209.24937276645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14198894)-sin(-0.14217876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989936494924852-0.989909615222384)×R²
    abs(0.13134710-0.13115536)×2.68797024682854e-05×R²
    0.000191739999999996×2.68797024682854e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.68797024682854e-05×40589641000000     		ar = 1462417.38938257m²