Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17068 / 15708
↖ ↑ ↗
← N 79.514661°
W133.121338°		 ← 55.58 m → N 79.514661°
W133.118591°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.514161°
W133.121338°		 ← 55.59 m →
3 088 m²		 N 79.514161°
W133.118591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130222320556641 y=0.119846343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130222320556641 × 217)
    floor (0.130222320556641 × 131072)
    floor (17068.5)     		tx = 17068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119846343994141 × 217)
    floor (0.119846343994141 × 131072)
    floor (15708.5)     		ty = 15708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17068 / 15708 ti = "17/17068/15708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17068/15708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17068 ÷ 217
    17068 ÷ 131072     		x = 0.130218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15708 ÷ 217
    15708 ÷ 131072     		y = 0.119842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.73956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32340565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119842529296875 × 2 - 1) × π
    0.76031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38859983426816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32340565} λ = -2.32340565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38859983426816))-π/2
    2×atan(10.8982239355735)-π/2
    2×1.47929448351948-π/2
    2.95858896703896-1.57079632675     		φ = 1.38779264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32340565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38779264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.514661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17068 KachelY 15708 -2.32340565 1.38779264 -133.121338 79.514661
    Oben rechts KachelX + 1 17069 KachelY 15708 -2.32335771 1.38779264 -133.118591 79.514661
    Unten links KachelX 17068 KachelY + 1 15709 -2.32340565 1.38778392 -133.121338 79.514161
    Unten rechts KachelX + 1 17069 KachelY + 1 15709 -2.32335771 1.38778392 -133.118591 79.514161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38779264-1.38778392) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dl = 55.5551200004658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38779264-1.38778392) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dr = 55.5551200004658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32340565--2.32335771) × cos(1.38779264) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.181983919676631 × 6371000     		do = 55.582573335814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32340565--2.32335771) × cos(1.38778392) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.18199249405885 × 6371000     		du = 55.5851921728484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38779264)-sin(1.38778392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181983919676631-0.18199249405885)×R²
    abs(-2.32335771--2.32340565)×8.57438221907314e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.57438221907314e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.57438221907314e-06×40589641000000     		ar = 3087.9692765085m²