Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17065 / 17196
↖ ↑ ↗
← S  8.885071°
E  7.481689°		 ← 1 206.98 m → S  8.885071°
E  7.492676°		 →
↑
1 206.99 m
↓
↑
1 206.99 m
↓
S  8.895926°
E  7.481689°		 ← 1 206.94 m →
1 456 786 m²		 S  8.895926°
E  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520797729492188 y=0.524795532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520797729492188 × 215)
    floor (0.520797729492188 × 32768)
    floor (17065.5)     		tx = 17065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524795532226562 × 215)
    floor (0.524795532226562 × 32768)
    floor (17196.5)     		ty = 17196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17065 / 17196 ti = "15/17065/17196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17065/17196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17065 ÷ 215
    17065 ÷ 32768     		x = 0.520782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17196 ÷ 215
    17196 ÷ 32768     		y = 0.5247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520782470703125 × 2 - 1) × π
    0.04156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13058011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13058011} λ = 0.13058011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155699049965942))-π/2
    2×atan(0.855816709686779)-π/2
    2×0.707861285998055-π/2
    1.41572257199611-1.57079632675     		φ = -0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13058011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.481689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17065 KachelY 17196 0.13058011 -0.15507375 7.481689 -8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 17066 KachelY 17196 0.13077186 -0.15507375 7.492676 -8.885071
    Unten links KachelX 17065 KachelY + 1 17197 0.13058011 -0.15526320 7.481689 -8.895926
    Unten rechts KachelX + 1 17066 KachelY + 1 17197 0.13077186 -0.15526320 7.492676 -8.895926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15507375--0.15526320) × R
    0.00018944999999998 × 6371000     		dl = 1206.98594999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15507375--0.15526320) × R
    0.00018944999999998 × 6371000     		dr = 1206.98594999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13058011-0.13077186) × cos(-0.15507375) × R
    0.000191749999999991 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 1206.97975315072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13058011-0.13077186) × cos(-0.15526320) × R
    0.000191749999999991 × 0.987970863710702 × 6371000     		du = 1206.94398496533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15507375)-sin(-0.15526320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.987970863710702)×R²
    abs(0.13077186-0.13058011)×2.92788442974867e-05×R²
    0.000191749999999991×2.92788442974867e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.92788442974867e-05×40589641000000     		ar = 1456786.02249566m²