Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17062 / 17186
↖ ↑ ↗
← S  8.776511°
E  7.448730°		 ← 1 207.34 m → S  8.776511°
E  7.459717°		 →
↑
1 207.30 m
↓
↑
1 207.30 m
↓
S  8.787368°
E  7.448730°		 ← 1 207.30 m →
1 457 600 m²		 S  8.787368°
E  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520706176757812 y=0.524490356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520706176757812 × 215)
    floor (0.520706176757812 × 32768)
    floor (17062.5)     		tx = 17062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524490356445312 × 215)
    floor (0.524490356445312 × 32768)
    floor (17186.5)     		ty = 17186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17062 / 17186 ti = "15/17062/17186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17062/17186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17062 ÷ 215
    17062 ÷ 32768     		x = 0.52069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17186 ÷ 215
    17186 ÷ 32768     		y = 0.52447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52069091796875 × 2 - 1) × π
    0.0413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13000487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15378157398114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13000487} λ = 0.13000487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15378157398114))-π/2
    2×atan(0.857459291977768)-π/2
    2×0.708808658983781-π/2
    1.41761731796756-1.57079632675     		φ = -0.15317901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13000487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.448730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15317901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.776511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17062 KachelY 17186 0.13000487 -0.15317901 7.448730 -8.776511
    Oben rechts KachelX + 1 17063 KachelY 17186 0.13019662 -0.15317901 7.459717 -8.776511
    Unten links KachelX 17062 KachelY + 1 17187 0.13000487 -0.15336851 7.448730 -8.787368
    Unten rechts KachelX + 1 17063 KachelY + 1 17187 0.13019662 -0.15336851 7.459717 -8.787368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15317901--0.15336851) × R
    0.000189500000000009 × 6371000     		dl = 1207.30450000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15317901--0.15336851) × R
    0.000189500000000009 × 6371000     		dr = 1207.30450000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13000487-0.13019662) × cos(-0.15317901) × R
    0.000191750000000018 × 0.988291017110952 × 6371000     		do = 1207.33509692528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13000487-0.13019662) × cos(-0.15336851) × R
    0.000191750000000018 × 0.98826208532639 × 6371000     		du = 1207.29975272168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15317901)-sin(-0.15336851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988291017110952-0.98826208532639)×R²
    abs(0.13019662-0.13000487)×2.89317845620918e-05×R²
    0.000191750000000018×2.89317845620918e-05×6371000²
    0.000191750000000018×2.89317845620918e-05×40589641000000     		ar = 1457599.76427974m²