Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17061 / 17385
↖ ↑ ↗
← S 10.930405°
E  7.437744°		 ← 1 199.48 m → S 10.930405°
E  7.448730°		 →
↑
1 199.40 m
↓
↑
1 199.40 m
↓
S 10.941192°
E  7.437744°		 ← 1 199.43 m →
1 438 631 m²		 S 10.941192°
E  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520675659179688 y=0.530563354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520675659179688 × 215)
    floor (0.520675659179688 × 32768)
    floor (17061.5)     		tx = 17061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530563354492188 × 215)
    floor (0.530563354492188 × 32768)
    floor (17385.5)     		ty = 17385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17061 / 17385 ti = "15/17061/17385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17061/17385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17061 ÷ 215
    17061 ÷ 32768     		x = 0.520660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17385 ÷ 215
    17385 ÷ 32768     		y = 0.530548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.06109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191939346078705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12981312} λ = 0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191939346078705))-π/2
    2×atan(0.825356928107669)-π/2
    2×0.690012385722924-π/2
    1.38002477144585-1.57079632675     		φ = -0.19077156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19077156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.930405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17061 KachelY 17385 0.12981312 -0.19077156 7.437744 -10.930405
    Oben rechts KachelX + 1 17062 KachelY 17385 0.13000487 -0.19077156 7.448730 -10.930405
    Unten links KachelX 17061 KachelY + 1 17386 0.12981312 -0.19095982 7.437744 -10.941192
    Unten rechts KachelX + 1 17062 KachelY + 1 17386 0.13000487 -0.19095982 7.448730 -10.941192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19077156--0.19095982) × R
    0.000188259999999996 × 6371000     		dl = 1199.40445999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19077156--0.19095982) × R
    0.000188259999999996 × 6371000     		dr = 1199.40445999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12981312-0.13000487) × cos(-0.19077156) × R
    0.000191749999999991 × 0.9818582268668 × 6371000     		do = 1199.47654787583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12981312-0.13000487) × cos(-0.19095982) × R
    0.000191749999999991 × 0.981822512262684 × 6371000     		du = 1199.43291751364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19077156)-sin(-0.19095982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818582268668-0.981822512262684)×R²
    abs(0.13000487-0.12981312)×3.57146041162215e-05×R²
    0.000191749999999991×3.57146041162215e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.57146041162215e-05×40589641000000     		ar = 1438631.36021103m²