Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17061 / 17383
↖ ↑ ↗
← S 10.908830°
E  7.437744°		 ← 1 199.56 m → S 10.908830°
E  7.448730°		 →
↑
1 199.53 m
↓
↑
1 199.53 m
↓
S 10.919618°
E  7.437744°		 ← 1 199.52 m →
1 438 889 m²		 S 10.919618°
E  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520675659179688 y=0.530502319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520675659179688 × 215)
    floor (0.520675659179688 × 32768)
    floor (17061.5)     		tx = 17061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530502319335938 × 215)
    floor (0.530502319335938 × 32768)
    floor (17383.5)     		ty = 17383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17061 / 17383 ti = "15/17061/17383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17061/17383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17061 ÷ 215
    17061 ÷ 32768     		x = 0.520660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17383 ÷ 215
    17383 ÷ 32768     		y = 0.530487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.06097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.191555850881744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12981312} λ = 0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191555850881744))-π/2
    2×atan(0.825673509225165)-π/2
    2×0.690200661521038-π/2
    1.38040132304208-1.57079632675     		φ = -0.19039500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19039500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.908830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17061 KachelY 17383 0.12981312 -0.19039500 7.437744 -10.908830
    Oben rechts KachelX + 1 17062 KachelY 17383 0.13000487 -0.19039500 7.448730 -10.908830
    Unten links KachelX 17061 KachelY + 1 17384 0.12981312 -0.19058328 7.437744 -10.919618
    Unten rechts KachelX + 1 17062 KachelY + 1 17384 0.13000487 -0.19058328 7.448730 -10.919618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19039500--0.19058328) × R
    0.000188279999999985 × 6371000     		dl = 1199.53187999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19039500--0.19058328) × R
    0.000188279999999985 × 6371000     		dr = 1199.53187999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12981312-0.13000487) × cos(-0.19039500) × R
    0.000191749999999991 × 0.98192955924709 × 6371000     		do = 1199.56369031139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12981312-0.13000487) × cos(-0.19058328) × R
    0.000191749999999991 × 0.9818939104607 × 6371000     		du = 1199.52014035472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19039500)-sin(-0.19058328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98192955924709-0.9818939104607)×R²
    abs(0.13000487-0.12981312)×3.56487863903965e-05×R²
    0.000191749999999991×3.56487863903965e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.56487863903965e-05×40589641000000     		ar = 1438888.77308877m²