Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17061 / 15590
↖ ↑ ↗
← N 79.573478°
W133.140564°		 ← 55.27 m → N 79.573478°
W133.137817°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.572981°
W133.140564°		 ← 55.28 m →
3 053 m²		 N 79.572981°
W133.137817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130168914794922 y=0.118946075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130168914794922 × 217)
    floor (0.130168914794922 × 131072)
    floor (17061.5)     		tx = 17061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118946075439453 × 217)
    floor (0.118946075439453 × 131072)
    floor (15590.5)     		ty = 15590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17061 / 15590 ti = "17/17061/15590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17061/15590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17061 ÷ 217
    17061 ÷ 131072     		x = 0.130165100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15590 ÷ 217
    15590 ÷ 131072     		y = 0.118942260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130165100097656 × 2 - 1) × π
    -0.739669799804688 × 3.1415926535     		Λ = -2.32374121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118942260742188 × 2 - 1) × π
    0.762115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39425638842332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32374121} λ = -2.32374121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39425638842332))-π/2
    2×atan(10.9600450117543)-π/2
    2×1.47980775561862-π/2
    2.95961551123724-1.57079632675     		φ = 1.38881918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32374121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.140564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38881918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.573478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17061 KachelY 15590 -2.32374121 1.38881918 -133.140564 79.573478
    Oben rechts KachelX + 1 17062 KachelY 15590 -2.32369327 1.38881918 -133.137817 79.573478
    Unten links KachelX 17061 KachelY + 1 15591 -2.32374121 1.38881051 -133.140564 79.572981
    Unten rechts KachelX + 1 17062 KachelY + 1 15591 -2.32369327 1.38881051 -133.137817 79.572981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38881918-1.38881051) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dl = 55.2365699995725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38881918-1.38881051) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dr = 55.2365699995725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32374121--2.32369327) × cos(1.38881918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18097442563938 × 6371000     		do = 55.2742478719463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32374121--2.32369327) × cos(1.38881051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180982952471824 × 6371000     		du = 55.2768521860553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38881918)-sin(1.38881051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18097442563938-0.180982952471824)×R²
    abs(-2.32369327--2.32374121)×8.52683244392805e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.52683244392805e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.52683244392805e-06×40589641000000     		ar = 3053.23178839642m²