Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1706 / 440
↖ ↑ ↗
← N 80.297927°
W 30.058594°		 ← 1 646.99 m → N 80.297927°
W 29.970703°		 →
↑
1 648.24 m
↓
↑
1 648.24 m
↓
N 80.283104°
W 30.058594°		 ← 1 649.49 m →
2 716 696 m²		 N 80.283104°
W 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4166259765625 y=0.1075439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4166259765625 × 212)
    floor (0.4166259765625 × 4096)
    floor (1706.5)     		tx = 1706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1075439453125 × 212)
    floor (0.1075439453125 × 4096)
    floor (440.5)     		ty = 440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1706 / 440 ti = "12/1706/440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1706/440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1706 ÷ 212
    1706 ÷ 4096     		x = 0.41650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 440 ÷ 212
    440 ÷ 4096     		y = 0.107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107421875 × 2 - 1) × π
    0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52462143} λ = -0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46664110684961))-π/2
    2×atan(11.7828031326758)-π/2
    2×1.4861297690383-π/2
    2.97225953807661-1.57079632675     		φ = 1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1706 KachelY 440 -0.52462143 1.40146321 -30.058594 80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 1707 KachelY 440 -0.52308745 1.40146321 -29.970703 80.297927
    Unten links KachelX 1706 KachelY + 1 441 -0.52462143 1.40120450 -30.058594 80.283104
    Unten rechts KachelX + 1 1707 KachelY + 1 441 -0.52308745 1.40120450 -29.970703 80.283104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40146321-1.40120450) × R
    0.000258709999999995 × 6371000     		dl = 1648.24140999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40146321-1.40120450) × R
    0.000258709999999995 × 6371000     		dr = 1648.24140999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52462143--0.52308745) × cos(1.40146321) × R
    0.00153398000000005 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 1646.99296962783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52462143--0.52308745) × cos(1.40120450) × R
    0.00153398000000005 × 0.168780045691613 × 6371000     		du = 1649.48512151597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40146321)-sin(1.40120450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.168780045691613)×R²
    abs(-0.52308745--0.52462143)×0.000255004124659258×R²
    0.00153398000000005×0.000255004124659258×6371000²
    0.00153398000000005×0.000255004124659258×40589641000000     		ar = 2716695.86364565m²