Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17059 / 17254
↖ ↑ ↗
← S  9.514079°
E  7.415772°		 ← 1 204.84 m → S  9.514079°
E  7.426758°		 →
↑
1 204.82 m
↓
↑
1 204.82 m
↓
S  9.524915°
E  7.415772°		 ← 1 204.80 m →
1 451 587 m²		 S  9.524915°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520614624023438 y=0.526565551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520614624023438 × 215)
    floor (0.520614624023438 × 32768)
    floor (17059.5)     		tx = 17059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526565551757812 × 215)
    floor (0.526565551757812 × 32768)
    floor (17254.5)     		ty = 17254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17059 / 17254 ti = "15/17059/17254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17059/17254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17059 ÷ 215
    17059 ÷ 32768     		x = 0.520599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17254 ÷ 215
    17254 ÷ 32768     		y = 0.52655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520599365234375 × 2 - 1) × π
    0.04119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12942963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.166820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12942963} λ = 0.12942963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166820410677795))-π/2
    2×atan(0.846351593398607)-π/2
    2×0.702372159184266-π/2
    1.40474431836853-1.57079632675     		φ = -0.16605201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12942963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.415772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16605201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.514079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17059 KachelY 17254 0.12942963 -0.16605201 7.415772 -9.514079
    Oben rechts KachelX + 1 17060 KachelY 17254 0.12962138 -0.16605201 7.426758 -9.514079
    Unten links KachelX 17059 KachelY + 1 17255 0.12942963 -0.16624112 7.415772 -9.524915
    Unten rechts KachelX + 1 17060 KachelY + 1 17255 0.12962138 -0.16624112 7.426758 -9.524915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16605201--0.16624112) × R
    0.000189109999999992 × 6371000     		dl = 1204.81980999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16605201--0.16624112) × R
    0.000189109999999992 × 6371000     		dr = 1204.81980999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12942963-0.12962138) × cos(-0.16605201) × R
    0.000191750000000018 × 0.986245014436599 × 6371000     		do = 1204.83561975268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12942963-0.12962138) × cos(-0.16624112) × R
    0.000191750000000018 × 0.986213738816754 × 6371000     		du = 1204.79741222791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16605201)-sin(-0.16624112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986245014436599-0.986213738816754)×R²
    abs(0.12962138-0.12942963)×3.12756198442843e-05×R²
    0.000191750000000018×3.12756198442843e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.12756198442843e-05×40589641000000     		ar = 1451586.81020632m²