Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17058 / 17179
↖ ↑ ↗
← S  8.700499°
E  7.404785°		 ← 1 207.58 m → S  8.700499°
E  7.415772°		 →
↑
1 207.50 m
↓
↑
1 207.50 m
↓
S  8.711359°
E  7.404785°		 ← 1 207.55 m →
1 458 128 m²		 S  8.711359°
E  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520584106445312 y=0.524276733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520584106445312 × 215)
    floor (0.520584106445312 × 32768)
    floor (17058.5)     		tx = 17058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524276733398438 × 215)
    floor (0.524276733398438 × 32768)
    floor (17179.5)     		ty = 17179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17058 / 17179 ti = "15/17058/17179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17058/17179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17058 ÷ 215
    17058 ÷ 32768     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17179 ÷ 215
    17179 ÷ 32768     		y = 0.524261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.04852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.152439340791779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152439340791779))-π/2
    2×atan(0.858610975038696)-π/2
    2×0.70947198521322-π/2
    1.41894397042644-1.57079632675     		φ = -0.15185236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15185236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.700499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17058 KachelY 17179 0.12923788 -0.15185236 7.404785 -8.700499
    Oben rechts KachelX + 1 17059 KachelY 17179 0.12942963 -0.15185236 7.415772 -8.700499
    Unten links KachelX 17058 KachelY + 1 17180 0.12923788 -0.15204189 7.404785 -8.711359
    Unten rechts KachelX + 1 17059 KachelY + 1 17180 0.12942963 -0.15204189 7.415772 -8.711359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15185236--0.15204189) × R
    0.000189530000000021 × 6371000     		dl = 1207.49563000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15185236--0.15204189) × R
    0.000189530000000021 × 6371000     		dr = 1207.49563000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12942963) × cos(-0.15185236) × R
    0.000191749999999991 × 0.988492568521525 × 6371000     		do = 1207.58132003915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12942963) × cos(-0.15204189) × R
    0.000191749999999991 × 0.988463880671546 × 6371000     		du = 1207.54627383562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15185236)-sin(-0.15204189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988492568521525-0.988463880671546)×R²
    abs(0.12942963-0.12923788)×2.86878499793364e-05×R²
    0.000191749999999991×2.86878499793364e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.86878499793364e-05×40589641000000     		ar = 1458128.0121131m²