Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17056 / 17255
↖ ↑ ↗
← S  9.524915°
E  7.382813°		 ← 1 204.73 m → S  9.524915°
E  7.393799°		 →
↑
1 204.76 m
↓
↑
1 204.76 m
↓
S  9.535749°
E  7.382813°		 ← 1 204.70 m →
1 451 388 m²		 S  9.535749°
E  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520523071289062 y=0.526596069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520523071289062 × 215)
    floor (0.520523071289062 × 32768)
    floor (17056.5)     		tx = 17056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526596069335938 × 215)
    floor (0.526596069335938 × 32768)
    floor (17255.5)     		ty = 17255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17056 / 17255 ti = "15/17056/17255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17056/17255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17056 ÷ 215
    17056 ÷ 32768     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17255 ÷ 215
    17255 ÷ 32768     		y = 0.526580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.05316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.167012158276276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167012158276276))-π/2
    2×atan(0.846189323071073)-π/2
    2×0.702277605626685-π/2
    1.40455521125337-1.57079632675     		φ = -0.16624112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16624112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.524915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17056 KachelY 17255 0.12885439 -0.16624112 7.382813 -9.524915
    Oben rechts KachelX + 1 17057 KachelY 17255 0.12904613 -0.16624112 7.393799 -9.524915
    Unten links KachelX 17056 KachelY + 1 17256 0.12885439 -0.16643022 7.382813 -9.535749
    Unten rechts KachelX + 1 17057 KachelY + 1 17256 0.12904613 -0.16643022 7.393799 -9.535749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16624112--0.16643022) × R
    0.000189099999999998 × 6371000     		dl = 1204.75609999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16624112--0.16643022) × R
    0.000189099999999998 × 6371000     		dr = 1204.75609999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12904613) × cos(-0.16624112) × R
    0.000191739999999996 × 0.986213738816754 × 6371000     		do = 1204.73458055047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12904613) × cos(-0.16643022) × R
    0.000191739999999996 × 0.98618242958398 × 6371000     		du = 1204.69633395754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16624112)-sin(-0.16643022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986213738816754-0.98618242958398)×R²
    abs(0.12904613-0.12885439)×3.13092327741682e-05×R²
    0.000191739999999996×3.13092327741682e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.13092327741682e-05×40589641000000     		ar = 1451388.30021599m²