Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1705 / 428
↖ ↑ ↗
← N 80.474065°
W 30.146484°		 ← 1 617.37 m → N 80.474065°
W 30.058594°		 →
↑
1 618.55 m
↓
↑
1 618.55 m
↓
N 80.459509°
W 30.146484°		 ← 1 619.82 m →
2 619 781 m²		 N 80.459509°
W 30.058594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4163818359375 y=0.1046142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4163818359375 × 212)
    floor (0.4163818359375 × 4096)
    floor (1705.5)     		tx = 1705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1046142578125 × 212)
    floor (0.1046142578125 × 4096)
    floor (428.5)     		ty = 428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1705 / 428 ti = "12/1705/428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1705/428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1705 ÷ 212
    1705 ÷ 4096     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 428 ÷ 212
    428 ÷ 4096     		y = 0.1044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1044921875 × 2 - 1) × π
    0.791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48504887630371))-π/2
    2×atan(12.0017068395646)-π/2
    2×1.48766686455127-π/2
    2.97533372910253-1.57079632675     		φ = 1.40453740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40453740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.474065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1705 KachelY 428 -0.52615541 1.40453740 -30.146484 80.474065
    Oben rechts KachelX + 1 1706 KachelY 428 -0.52462143 1.40453740 -30.058594 80.474065
    Unten links KachelX 1705 KachelY + 1 429 -0.52615541 1.40428335 -30.146484 80.459509
    Unten rechts KachelX + 1 1706 KachelY + 1 429 -0.52462143 1.40428335 -30.058594 80.459509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40453740-1.40428335) × R
    0.000254049999999895 × 6371000     		dl = 1618.55254999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40453740-1.40428335) × R
    0.000254049999999895 × 6371000     		dr = 1618.55254999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52462143) × cos(1.40453740) × R
    0.00153397999999993 × 0.165494028999507 × 6371000     		do = 1617.37092448224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52462143) × cos(1.40428335) × R
    0.00153397999999993 × 0.165744570507925 × 6371000     		du = 1619.81946328174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40453740)-sin(1.40428335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165494028999507-0.165744570507925)×R²
    abs(-0.52462143--0.52615541)×0.000250541508417995×R²
    0.00153397999999993×0.000250541508417995×6371000²
    0.00153397999999993×0.000250541508417995×40589641000000     		ar = 2619781.39256335m²