Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17046 / 17085
↖ ↑ ↗
← S  7.678329°
E  7.272949°		 ← 1 210.69 m → S  7.678329°
E  7.283936°		 →
↑
1 210.68 m
↓
↑
1 210.68 m
↓
S  7.689217°
E  7.272949°		 ← 1 210.65 m →
1 465 736 m²		 S  7.689217°
E  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520217895507812 y=0.521408081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520217895507812 × 215)
    floor (0.520217895507812 × 32768)
    floor (17046.5)     		tx = 17046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521408081054688 × 215)
    floor (0.521408081054688 × 32768)
    floor (17085.5)     		ty = 17085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17046 / 17085 ti = "15/17046/17085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17046/17085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17046 ÷ 215
    17046 ÷ 32768     		x = 0.52020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17085 ÷ 215
    17085 ÷ 32768     		y = 0.521392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52020263671875 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.04278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.134415066534637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12693691} λ = 0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134415066534637))-π/2
    2×atan(0.874227126862857)-π/2
    2×0.718392098467911-π/2
    1.43678419693582-1.57079632675     		φ = -0.13401213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13401213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.678329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17046 KachelY 17085 0.12693691 -0.13401213 7.272949 -7.678329
    Oben rechts KachelX + 1 17047 KachelY 17085 0.12712866 -0.13401213 7.283936 -7.678329
    Unten links KachelX 17046 KachelY + 1 17086 0.12693691 -0.13420216 7.272949 -7.689217
    Unten rechts KachelX + 1 17047 KachelY + 1 17086 0.12712866 -0.13420216 7.283936 -7.689217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13401213--0.13420216) × R
    0.00019002999999998 × 6371000     		dl = 1210.68112999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13401213--0.13420216) × R
    0.00019002999999998 × 6371000     		dr = 1210.68112999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12693691-0.12712866) × cos(-0.13401213) × R
    0.000191750000000018 × 0.991033805409565 × 6371000     		do = 1210.6857947653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12693691-0.12712866) × cos(-0.13420216) × R
    0.000191750000000018 × 0.991008397348446 × 6371000     		du = 1210.65475528057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13401213)-sin(-0.13420216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991033805409565-0.991008397348446)×R²
    abs(0.12712866-0.12693691)×2.54080611188368e-05×R²
    0.000191750000000018×2.54080611188368e-05×6371000²
    0.000191750000000018×2.54080611188368e-05×40589641000000     		ar = 1465735.66103273m²