Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17045 / 17249
↖ ↑ ↗
← S  9.459899°
E  7.261963°		 ← 1 205.03 m → S  9.459899°
E  7.272949°		 →
↑
1 205.01 m
↓
↑
1 205.01 m
↓
S  9.470736°
E  7.261963°		 ← 1 204.99 m →
1 452 047 m²		 S  9.470736°
E  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520187377929688 y=0.526412963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520187377929688 × 215)
    floor (0.520187377929688 × 32768)
    floor (17045.5)     		tx = 17045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526412963867188 × 215)
    floor (0.526412963867188 × 32768)
    floor (17249.5)     		ty = 17249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17045 / 17249 ti = "15/17045/17249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17045/17249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17045 ÷ 215
    17045 ÷ 32768     		x = 0.520172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17249 ÷ 215
    17249 ÷ 32768     		y = 0.526397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520172119140625 × 2 - 1) × π
    0.04034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12674516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.165861672685394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12674516} λ = 0.12674516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165861672685394))-π/2
    2×atan(0.847163411924576)-π/2
    2×0.702844971858779-π/2
    1.40568994371756-1.57079632675     		φ = -0.16510638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12674516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.261963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16510638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.459899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17045 KachelY 17249 0.12674516 -0.16510638 7.261963 -9.459899
    Oben rechts KachelX + 1 17046 KachelY 17249 0.12693691 -0.16510638 7.272949 -9.459899
    Unten links KachelX 17045 KachelY + 1 17250 0.12674516 -0.16529552 7.261963 -9.470736
    Unten rechts KachelX + 1 17046 KachelY + 1 17250 0.12693691 -0.16529552 7.272949 -9.470736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16510638--0.16529552) × R
    0.000189140000000004 × 6371000     		dl = 1205.01094000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16510638--0.16529552) × R
    0.000189140000000004 × 6371000     		dr = 1205.01094000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12674516-0.12693691) × cos(-0.16510638) × R
    0.000191749999999991 × 0.986400876601907 × 6371000     		do = 1205.02602709124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12674516-0.12693691) × cos(-0.16529552) × R
    0.000191749999999991 × 0.986369772425222 × 6371000     		du = 1204.98802900816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16510638)-sin(-0.16529552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986400876601907-0.986369772425222)×R²
    abs(0.12693691-0.12674516)×3.11041766858366e-05×R²
    0.000191749999999991×3.11041766858366e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.11041766858366e-05×40589641000000     		ar = 1452046.65590564m²