Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17044 / 17198
↖ ↑ ↗
← S  8.906780°
E  7.250976°		 ← 1 206.91 m → S  8.906780°
E  7.261963°		 →
↑
1 206.86 m
↓
↑
1 206.86 m
↓
S  8.917634°
E  7.250976°		 ← 1 206.87 m →
1 456 546 m²		 S  8.917634°
E  7.261963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520156860351562 y=0.524856567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520156860351562 × 215)
    floor (0.520156860351562 × 32768)
    floor (17044.5)     		tx = 17044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524856567382812 × 215)
    floor (0.524856567382812 × 32768)
    floor (17198.5)     		ty = 17198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17044 / 17198 ti = "15/17044/17198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17044/17198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17044 ÷ 215
    17044 ÷ 32768     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17198 ÷ 215
    17198 ÷ 32768     		y = 0.52484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156082545162903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156082545162903))-π/2
    2×atan(0.85548857101296)-π/2
    2×0.707671844958635-π/2
    1.41534368991727-1.57079632675     		φ = -0.15545264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15545264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.906780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17044 KachelY 17198 0.12655341 -0.15545264 7.250976 -8.906780
    Oben rechts KachelX + 1 17045 KachelY 17198 0.12674516 -0.15545264 7.261963 -8.906780
    Unten links KachelX 17044 KachelY + 1 17199 0.12655341 -0.15564207 7.250976 -8.917634
    Unten rechts KachelX + 1 17045 KachelY + 1 17199 0.12674516 -0.15564207 7.261963 -8.917634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15545264--0.15564207) × R
    0.00018942999999999 × 6371000     		dl = 1206.85852999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15545264--0.15564207) × R
    0.00018942999999999 × 6371000     		dr = 1206.85852999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12674516) × cos(-0.15545264) × R
    0.000191749999999991 × 0.987941550955116 × 6371000     		do = 1206.90817535259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12674516) × cos(-0.15564207) × R
    0.000191749999999991 × 0.98791220429491 × 6371000     		du = 1206.87232432062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15545264)-sin(-0.15564207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987941550955116-0.98791220429491)×R²
    abs(0.12674516-0.12655341)×2.93466602067083e-05×R²
    0.000191749999999991×2.93466602067083e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.93466602067083e-05×40589641000000     		ar = 1456545.79714461m²