Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17043 / 17087
↖ ↑ ↗
← S  7.700105°
E  7.239990°		 ← 1 210.56 m → S  7.700105°
E  7.250976°		 →
↑
1 210.55 m
↓
↑
1 210.55 m
↓
S  7.710991°
E  7.239990°		 ← 1 210.53 m →
1 465 430 m²		 S  7.710991°
E  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520126342773438 y=0.521469116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520126342773438 × 215)
    floor (0.520126342773438 × 32768)
    floor (17043.5)     		tx = 17043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521469116210938 × 215)
    floor (0.521469116210938 × 32768)
    floor (17087.5)     		ty = 17087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17043 / 17087 ti = "15/17043/17087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17043/17087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17043 ÷ 215
    17043 ÷ 32768     		x = 0.520111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17087 ÷ 215
    17087 ÷ 32768     		y = 0.521453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520111083984375 × 2 - 1) × π
    0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.04290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.134798561731598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12636167} λ = 0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134798561731598))-π/2
    2×atan(0.8738919292361)-π/2
    2×0.71820207498866-π/2
    1.43640414997732-1.57079632675     		φ = -0.13439218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13439218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.700105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17043 KachelY 17087 0.12636167 -0.13439218 7.239990 -7.700105
    Oben rechts KachelX + 1 17044 KachelY 17087 0.12655341 -0.13439218 7.250976 -7.700105
    Unten links KachelX 17043 KachelY + 1 17088 0.12636167 -0.13458219 7.239990 -7.710991
    Unten rechts KachelX + 1 17044 KachelY + 1 17088 0.12655341 -0.13458219 7.250976 -7.710991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13439218--0.13458219) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dl = 1210.55370999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13439218--0.13458219) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dr = 1210.55370999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12636167-0.12655341) × cos(-0.13439218) × R
    0.000191739999999996 × 0.990982954840506 × 6371000     		do = 1210.56053819006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12636167-0.12655341) × cos(-0.13458219) × R
    0.000191739999999996 × 0.990957477892313 × 6371000     		du = 1210.52941617331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13439218)-sin(-0.13458219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990982954840506-0.990957477892313)×R²
    abs(0.12655341-0.12636167)×2.5476948193659e-05×R²
    0.000191739999999996×2.5476948193659e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.5476948193659e-05×40589641000000     		ar = 1465429.71765806m²